КЛАССИФИКАЦИОННЫЕ ШКАЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Ю. Н. Кликушин

Омский государственный технический университет

Получена 14 ноября 2000 г.

Описаны результаты исследований, связанных с представлением распределений вероятности случайных сигналов в виде порядковых идентификационных шкал. Подобные шкалы предназначены для использования в интеллектуальных системах измерения, контроля и диагностики в качестве базы эталонных образов. 

ВВЕДЕНИЕ

Качественный уровень интеллектуальных средств измерения, контроля и диагностики определяется, кроме всего прочего, их способностью принимать адекватные решения в условиях, когда для входной информации в базе знаний не находится, для формирования условия эквивалентности, соответствующего эталонного образа.

Традиционный подход в этом случае состоит в том, что неизвестному входному образу присваивается имя "ближайшего" эталона. При этом не учитываются вклады, вносимые в оценку понятия "ближайшего" расстояния остальных эталонов базы знаний.

Для обоснования подобной процедуры распознавания обычно ссылаются на количественные критерии оценки понятия "малости расстояния" между образами. Так, например, в теории измерений и прикладной статистике [1-3] в качестве такого критерия используется "правило 3-х сигм", в соответствии с которым, при суммировании двух составляющих погрешности измерения, выраженных своими среднеквадратическими отклонениями (СКО), "малой" считается та составляющая, СКО которой в 3 раза меньше, чем у другой составляющей. Применение подобных критериев в задачах распознавания образов ведет к "округлению" результатов и, как следствие, к ограничению разрешающей способности числом используемых эталонов.

Автором была разработана новая технология распознавания [4], позволяющая формировать такой результат, который учитывает влияние всех эталонов базы данных. Идея подобной технологии основана на применении порядковой шкалы эталонов. Шкала является универсальным и компактным средством отображения самого общего вида связи между эталонами, позволяющим совместить функции аналого-цифрового преобразования и интерполяции неизвестного образа.

Предположим, что имеется две системы распознавания, содержащие одинаковое число, например k=4, эталонов. Пусть в первой системе эталоны неупорядочены. В такой системе число различимых градаций равно числу k эталонов, т.е. 4. Пусть во второй системе эталоны организованы в виде порядковой шкалы и помечены номерами от 1 до 4. Каждому входному образу будут сопоставлены  одновременно все четыре эталона. Однако порядок следования эталонов может быть разным. Поэтому для системы распознавания с порядковой шкалой эталонов число различимых градаций составит k!=4!=24. Таким образом,  выигрыш в разрешающей способности для системы с упорядоченной базой эталонов составит (k-1)!. Совокупность порядковых номеров эталонов можно рассматривать как своеобразный "позиционный" код (ПК) входного образа, число разрядов которого равно числу эталонов, причем разряды имеют качественную характеристику в виде имен эталонов.

Результаты (табл.1) идентификации двух случайных сигналов (рис.1) иллюстрируют идею метода. Первые 3 и последние 2 разряда ПК сравниваемых сигналов совпадают. Отличия проявляются в 4 и 5 разрядах так, что ПК второго сигнала оказывается больше аналогичного ПК первого: ПК₂>ПК₁. Физический смысл подобного соотношения состоит в том, при одинаковой форме "ближайшего" распределения (НОРМ – нормальное), плотность вероятности второго сигнала более концентрирована. 

Рис.1. Временные функции и гистограммы сравниваемых случайных сигналов

Таблица 1.

Рис.3. Порядковая шкала принадлежностных спектров распределений вероятности

Чтобы реализовать указанный подход в распознавании образов, требуется иметь упорядоченные шкалы эталонов. Решение задачи создания подобных шкал было впервые дано в [5], где описаны соответствующие технологии, основанные на нечетких и фрактальных моделях представления сигналов. Оснвные результаты проведенных исследований в компактной и наглядной форме изложены в данной работе.

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПОРЯДКОВЫХ ШКАЛ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Порядковые шкалы распределений упорядочивают их форму по свойствам либо концентрированности – размытости (рис.2), либо симметрии – асимметрии  и концентрированности – размытости одновременно (рис.3). В качестве числовых упорядочивающих коэффициентов были использованы следующие параметры:

а) показатель эффективной размерности H_s;

б) виртуальный объем выборки NF;

в) средняя крутизна нормированной ранжированной функции сигнала на центральном ее участке S;

г) фазовый угол, определяющий положение максимумов функции принадлежности в спектре нечетких оценок центра распределения.

Первые два показателя относятся к классу фрактальных моделей, два других – к классу нечетких моделей представления входных сигналов.

Метод эффективной размерности (МЭР). Является прямым аналогом метода Херста [6] во фрактальном анализе временных рядов наблюдений. Однако, в отличие от последнего, моделью метода эффективной размерности служит уравнение (1), определяющее отношение размаха сигнала (а не размаха накопленного отклонения как в методе Херста) к его среднеквадратическому отклонению от среднего:
 

                          (1)

где: Аs, Нs – параметры зависимости – коэффициенты, которые требуется оценивать по результатам измерения; N – текущий объем выборки, последовательно сканируемый в диапазоне от 2 до Nmax и представляющий собой в данной формуле независимую переменную. Информативным параметром в (1) является показатель Hs эффективной размерности сигнала, оценивать который удобнее всего, используя логарифмическую форму записи:

                         (2)
в которой Hs определяет угол наклона прямой линии, аппроксимирующей точки зависимости  где

Рис.4. Типовые реализации сигналов с 2МОД, НОРМ и КОШИ распределениями и их фрактальные функции в логарифмическом масштабе

На рис.4 представлены типовые реализации некоторых стационарных случайных сигналов и их фрактальные функции (2). Угол наклона регрессионной прямой, проведенной к фрактальной линии определяет оценку b показателя Hs эффективной размерности. Проведенными исследованиями установлено, что численные значения показателя Hs зависят от вида распределения, меняясь от 0 у двумодального (2МОД), до 1 – у распределения Коши (КОШИ) (табл.2).

Таблица 2.

Представленные в табл.2 оценки показателя Hs эффективной размерности получены усреднением 1000 реализаций объема Nmax=2000 для каждого из симметричных распределений. Эти оценки использованы в дальнейшем в качестве "оцифрованных отметок" фрактальной порядковой шкалы распределений. Оценки погрешностей "оцифрованных отметок" даны в приведенной (к max Hs=1) форме и рассчитаны через среднеквадратическое отклонение как случайные погрешности среднего для уровня доверительной вероятности 0.95: 

.

Знание показателя Hs эффективной размерности позволяет определить стационарную размерность сигнала в виде: Ds=2-Hs. Для показанных на рис.4 сигналов, стационарная размерность, соответственно, составит: Ds(2МОД)=2, Ds(НОРМ)=1.88 и  Ds(КОШИ)=1. Топологическая размерность плоскости совпадает со стационарной размерностью сигнала с 2МОД распределением. С другой стороны, стационарная размерность случайного сигнала с КОШИ распределением совпадает с топологической размерностью линии (Dt=1). Между этими двумя крайними случаями целочисленной размерности лежат сигналы с нецелочисленной стационарной размерностью, например, сигнал с НОРМ распределением (Ds(НОРМ)=1.86-1.88). Физическая интерпретация понятия стационарной размерности связана с понятием хаотичности (изменчивости) случайных сигналов – сигнал  большей размерности имеет более высокую хаотичность.

Метод виртуальных объемов (МВО). Использует, как и предыдущий метод, отношение размаха сигнала к его СКО. Математическая модель МВО:

        (3)



трактует обработку значений {X} сигнала как преобразование количества информации объема N на входе системы распознавания в количество информации объема NF на выходе. При постоянном объеме N входных данных свойства сигнала полностью определяются фрактальным коэффициентом передачи K_f. Если ввести предположение о динамическом характере процесса преобразования, то модель (3) можно детализировать, описав ее, например, уравнением апериодического типа [7]:

                                                                          (4)


где: единственный модельный параметр N_* характеризует такой объем выборки, при котором фрактальный коэффициент передачи равен »0.707 от максимального значения. Физический смысл формулы (4) заключается в том, что оценка свойств сигнала с помощью виртуального объема NF, зависит от времени наблюдения (N) и типа процесса (N_*).

Анализ асимптотического поведения модели (4) позволяет предсказать свойства граничных процессов. Например:

Первое условие объединяет "малоинерционные" процессы, свойства которых можно оценить, выбрав достаточно большое время наблюдения. У таких процессов экстремальные значения появляются часто (многократно за время наблюдения). Фрактальный коэффициент передачи подобных процессов меньше 1, что соответствует модели электрической цепи с потерями. Примером подобного сигнала может служить, показанный на рис.4, сигнал с 2МОД распределением. 

Рис.5. Две реализации сигнала с КОШИ распределением и различными значениями фрактального коэффициента передачи: а) Kf=1.22; б) Kf=0.44

Второе условие характерно для весьма "инерционных" процессов, у которых собственное критическое время (N_*) стремится к бесконечности. Фрактальный коэффициент передачи подобных процессов равен 1, что соответствует модели электрической цепи без потерь.

В связи с анализом граничных значений NF возникает интересный вопрос: существуют ли такие условия (или процессы), для которых фрактальный коэффициент передачи больше 1? В эксперименте с генератором случайного сигнала, имеющего КОШИ распределение, было зафиксировано примерно (15-20)% реализаций, для которых наблюдался подобный эффект увеличения количества информации на выходе системы по сравнению с количеством информации на входе (NF>N).

Примеры сигналов, имеющих  фрактальные коэффициенты передачи как меньше, так и больше 1, представлены на рис.5.

Метод средней крутизны ранжированной функции. Является алгоритмически наиболее простым методом шкалирования (рис.2) распределений вероятности. Суть его сводится к следующему [4].

• Исследуемая выборка ранжируется по возрастанию.

• Из ранжированной функции путем равномерной дискретизации выбирается 9 значений, причем пятое по счету значение должно совпадать с медианой исследуемой выборки.

• Вычисляется модельный параметр, определяемый как:

                                                                  (5)

где: C(I) – i-ое значение ранжированной функции исследуемой выборки. Численные значения параметра S отображают симметричные распределения, как указано в табл.3.

Примерный вид ранжированных функций некоторых из симметричных распределений представлен на рис.6. Вид этих функций не зависит от параметров сдвига и масштаба, но крутизна на центральном участке плавно увеличивается в направлении от КОШИ к 2МОД распределению.

Таблица 3.

Рис.6. Вид ранжированных функций реализаций  с КОШИ, НОРМ, РАВН и 2МОД распределениями

Простота реализации и статистическая устойчивость метода позволяют рекомендовать его для решения задач идентификации вместо устаревших технологий типа проверки статистических гипотез и методов, основанных на анализе моментов распределений.

Метод принадлежностных спектров. Идея и суть метода подробно изложены в работах [4,5]. Шкала (рис.3) метода представляет собой окружность единичного радиуса в комплексной плоскости. Геометрическим местом симметричных выпуклых распределений служит положительное направление оси абсцисс, а симметричных вогнутых – отрицательное. Распределения РАВН и 2МОД не имеют ни выпуклости, ни вогнутости, поэтому их точки расположены на мнимой оси. В точках пересечения осей координат с окружностью расположены "канонические" распределения (2МОД, АРКС, РАВН и КОШИ). Остальные точки окружности являются геометрическим местом различных асимметричных распределений. Информативным параметром метода служит угловое положение вектора формы, который отображает положение максимумов функции принадлежности в спектре нечетких оценок центра распределения.

Таблица 4.

Вероятности принятия решений о выборе одного из 5 эталонных распределений, если на входе распознавалось одно из 10 распределений

В табл.4 представлены результаты распознавания случайных сигналов с различными распределениями методом принадлежностных спектров с пятью эталонами: 2МОД – АРКС – ЛЭКС – КОШИ – ЭКСП. Здесь ЛЭКС – левоасимметричное, а ЭКСП – правоасимметричное распределения. В эксперименте тестировалось 10 распределений, представленное каждое 200 реализациями объема N=1000.

Первые пять распределений совпадают с эталонами и вероятность их правильного распознавания составляет не менее 95%. Шестое распределение (Релея) относится к классу асимметричных. В рамках принятых эталонов оно раскладывается на две компоненты КОШИ и ЭКСП в пропорциональности примерно 2 к 1. Седьмое (РАВН) распределение оказалось размытым по всем эталонным компонентам с заметным преобладанием КОШИ. Остальные симметричные выпуклые распределения (СИМП, НОРМ и ЛАПЛ) маскируются симметричным выпуклым эталонным распределением КОШИ, что находится в полном соответствии с, рассмотренной в [4], круговой моделью шкалы.

Методологическое значение метода обусловлено возможностью создания алгебры образов распределений – формального логического аппарата для описания операций с подобными сложными объектами. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Если предположить, что "форма распределения" является непрерывной величиной, то порядковые шкалы можно считать аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Такие АЦП относятся к классу параллельных, поскольку неизвестный входной образ сравнивается сразу с полной шкалой эталонов. Сами эталоны в этом случае играют роль "оцифрованных отметок" шкалы. Следовательно, как и в обычных измерительных приборах физических величин, достоверность преобразования будет зависеть, в первую очередь, от качества используемой шкалы эталонов. При этом положение "оцифрованных отметок" определяет систематическую, а размытость отметки – случайную, составляющие погрешности шкалы.

Указанные особенности позволяют сформировать единую методологическую базу описания процессов распознавания и измерения и, соответственно, использовать стандартный, узаконенный понятийный  аппарат метрологии при решении задач распознавания образов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фрумкин В.Д., Рубичев Н.А. Теория вероятности и статистика в метрологии и измерительной технике. –М.: Машиностроение, 1987.

2. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при ихмерениях. – Л.: Энергоатомиздат, 1990.

3. Тойберт П. Оценка точности результатов измерений: Пер. с нем. – М.: Энергоатомиздат, 1988.

4. Кликушин Ю.Н. Представление случайных сигналов с помощью принадлежностных спектров. – Интернет-публикация, М.: Журнал Радиоэлектроники, № 2, 2000.

5. Кликушин Ю.Н. Идентификационные шкалы: теория, технологии, системы//Рукоп.диссерт.на соиск. ученой степени докт.техн.наук – Омск, Омский государственный технический университет, 2000.

6. Федер Е. Фракталы: Пер.с англ. – М.: Мир, 1991.

7. Кликушин Ю.Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности. – Интернет-публикация, М.: Журнал Радиоэлектроники, № 3, 2000.

Автор: Кликушин Юрий Николаевич, профессор кафедры "Информационно-измерительная техника" Омского государственного технического университета, к.т.н.

E-mail: lab308@omgtu.omskelecom.ru

оглавление

дискуссия