О тестировании численных методов для получения осциллирующих решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Аннотация

Дифференциальное уравнение Дуффинга может быть одновременно и жестким и быстро осциллирующим. Аналитическое решение уравнения известно, поэтому его удобно использовать для оценки эффективности численных методов решения дифференциальных уравнений. Показано, что свойства методов при повышении жесткости изменяются по сравнению с частным случаем - уравнением гармонического осциллятора.

• Oscillating circuits
• stiff differential equations
• numerical methods
• error analysis
• осциллятор
• быстро осциллирующие задачи
• обыкновенные дифференциальные уравнения
• численные методы

Abstract (in English)

This paper exploits a concurrently stiff and highly oscillatory differential Duffing equation and discusses some numerical methods to solve it. The local error, the global error, and the error of solutions' amplitude and period are examined.

Для цитирования

Литература

1. Калиткин Н. Н. «Численные методы решения жестких систем», Математическое моделирование, 1995, т. 7, № 5, с. 8-11.
2. Petzold L. R., Jay L. O., Jeng Yen. Numerical solution of highly oscillatory ordinary differential equations//Acta Numerica. 1997, pp. 437 -483
3. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999, 685 с.
4. Пилипенко А. М., Бирюков В. Н. Исследование эффективности современных численных методов при анализе автоколебательных цепей//Журнал радиоэлектроники, № 8, 2013. . URL: http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text.pdf
5. Бирюков В. Н., Гатько Л. Н. «Точное стационарное решение уравнения автогенератора», Нелинейный мир, 2012, т. 10, № 9, с. 613-616.
6. Buonomo A., Di Bello C. Asymptotic formulas in nearly sinusoidal nonlinear oscillators//IEEE Trans. Circuits Systems I Fund. Theory Appl. 1996, Vol. 43, pp. 953-963
7. Najafi M., Moghimi M., Massah H. Analytical treatment for nonlinear oscillation equations and vibratory system of waves//Tamkang journal of mathematics, Vol. 40, No 1, 2009, pp. 77-94.
8. Koçak H., A. et al. Comparative study of analytical solutions to the coupled Van-der-Pol's non-linear circuits using the He's method (HPEM) and (BPES). Circuits and Systems, 2011, 2, pp. 196-200 Published Online July 2011.//. URL: http://www.SciRP.org/journal/cs.
9. Maffezzoni P., Codecasa L., D'Amore D. Time-Domain Simulation of Nonlinear Circuits through Implicit Runge-Kutta Methods//IEEE Trans. Circuits and Syst. I, vol. 54, pp. 391-400, Feb. 2007.
10. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания -М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. -292 с.
11. Kargar A., Akbarzade M. Analytical Solution of Nonlinear Cubic-Quintic Duffing Oscillator Using Global Error Minimization Method//Adv. Studies Theor. Phys., Vol.6, 2012, no 10, 467-471
12. Бирюков В. Н., Применко К. Л. «К оценке локальной погрешности разностных схем», Материалы международной научной конференции «Информационное общество: идеи, технологии, системы» -Ч. 3 -Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2010. -с. 4-8
13. Hosea M. E., Shampine L. F. “Analysis and implementation of TR-BDF2”, Applied Numerical Mathematics, vol. 20, No 1-2, 1996, pp. 21-37.
14. Бирюков В. Н. «Использование формул дифференцирования назад в одношаговом методе второго порядка точности», Математическое моделирование, 2009, т.21, № 11, с. 12-18.
15. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979, 208 с.