ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН English Войти Подать статью
Журнал радиоэлектроники Электронный научный журнал · eISSN 1684-1719
2018, № 7 · МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Аппроксимация эмпирических распределений вероятностей полиномами Бернштейна

Ф.В. Голик1

1 Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации 173003, г. Великий Новгород, ул. Германа, 31, Россия
Полный текст (PDF) DOI: 10.30898/1684-1719.2018.7.5 УДК 519.234.2:621.391 EDN VABFLJ

Аннотация

Предмет исследования: аппроксимация полиномами Бернштейна (ПБ) выборочных распределений унимодального и полимодального типа, заданных на конечных интервалах. Объектом исследования являются методы оптимизации параметров аппроксимирующих ПБ. Цель работы состоит в разработке конструктивных методов оптимизации параметров ПБ и реализация этих методов средствами пакета прикладных программ MathCAD. Используемые методы: метод условного нелинейного программирования, метод наименьших квадратов, интервальное оценивание, численные расчеты в пакете прикладных программ MathCAD и имитационное компьютерное моделирование. Научная новизна работы заключается в применении метода наименьших квадратов при оптимизации весовых коэффициентов ПБ, что позволило упростить процедуру поиска решения: вместо задачи квадратичного программирования решается линейная оптимизационная задача с ограничениями. Результат: разработаны и апробированы методы поиска оптимальных параметров ПБ: 1) предложена конструктивная процедура оптимизации весовых коэффициентов; 2) проанализированы и обоснованы методы поиска «практически» оптимальных значений порядка ПБ. Практическая значимость: аппроксимация эмпирических распределений полиномами Бернштейна может успешно применяться при проектировании телекоммуникационных систем, моделировании стохастических систем и систем управления, решения задач статистической радиофизики и радиотехники и др., поскольку погрешность аппроксимации мала, а методы расчета оптимальных параметров ПБ достаточно просто реализуются средствами пакета прикладных программ MathCAD.

  • эмпирическое распределение вероятностей
  • аппроксимация
  • полиномы Бернштейна
  • метод наименьших квадратов
  • компьютерное моделирование
  • empirical probability distribution
  • approximation
  • Bernstein polynomials
  • least square method
  • computer simulation
Abstract (in English)

The present paper is devoted to approximation of the empirical unimodal and multimodal distributions defined on a finite interval. The nonparametric approximation by Bernstein polynomials is studied. A comparative analysis of the optimality criteria is carried out. Instead of the statistics of Anderson and Darling [1], it is suggested to use the criterion of the least-squares method. This allowed us to do without solving problems of quadratic programming. Optimization of the weight coefficients of the Bernstein polynomial is reduced to solving a linear optimization problem with constraints. Stable and reliable solutions to this problem using the Mathcad software are obtained. Methods for choosing the order of the Bernstein polynomial are considered. The issue concerning the necessary and sufficient accuracy of the approximation of empirical distributions is discussed. A statistical approach based on interval estimates of the histogram is proposed. The results of computer simulation are presented, which confirm the working ability and high efficiency of the proposed methods of approximation.

Для цитирования

Голик Ф.В. Аппроксимация эмпирических распределений вероятностей полиномами Бернштейна // Журнал радиоэлектроники. – 2018. – № 7. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2018.7.5

Литература

  1. Левин, Б. Р. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления. / Б. Р. Левин, В. Шварц. - М.: Радио и связь, 1985. - 312 с.
  2. Тихонов, В. И. Статистическая радиотехника / В. И. Тихонов. - М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.
  3. Кропотов Ю. А Методы оценивания моделей плотности вероятностей акустических сигналов в телекоммуникациях аудиообмена. // Системы управления, связи и безопасности №1. 2017, с. 26 - 39
  4. Кропотов Ю.А. Моделирование и методы исследования акустических сигналов, шумов и помех в ситемах телекоммуникаций: монография / Ю.А. Кропотов, В.А. Ермолаев. - Берлин: Директ-Медиа, 2016. - 251 c.
  5. Киреева Н.В., Чупахина Л.Р Сравнение возможностей использования различных методов аппроксимации для анализа трафика с самоподобным распределением // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований №12, 2016, с. 1287- 1289.
  6. Сушко Д.В. Оптимальная аппроксимация частотных вероятностей // Информационные процессы, том 18 № 1, 2018, с. 40-54.
  7. Новоселов А.А. Параметризация моделей управляемых систем // Вестник государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева, № 5 (31), 2010, с. 52-56.
  8. Димаки А.В., СветлаковА.А. Аппроксимация плотностей распределений случайных величин с применением ортогональных полиномов Чебышева-Эрмита // Известия Томского политехнического университета. 2006. том № 8 с. 6 -11.
  9. Parzen E. On the estimation of probability density function and the mode // Ann. Math. Stat., 1962. - Vol. 33. - P. 1065-1076.
  10. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть I М.: Главная редакция общетехнической литературы, 1937. - с. 203
  11. Бернштейн С.Н. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей / Собрание сочинений. Т. 1. М.: АН СССР, 1952.
  12. Никольский С.М. Приближение многочленами функций действительного переменного. / Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947, ОГИЗ ГИТТЛ, М.-Л., 1948, с. 288-318.
  13. Миракьян Г.М. Приближение полиномами С. Н. Бернштейна непрерывных функций / Докл. АН СССР, 159:5 (1964), с. 982-984.
  14. Тихонов И.В., Шерстюков Б.В. Новые результаты из теории полиномов Бернштейна / Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского, 2015, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН.
  15. Тихонов И.В., Шерстюков Б.В., Петросова М.А. Полиномы Бернштейна: старое и новое. ч. 1. Исследования по математическому анализу / Математический форум, 8, ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, Владикавказ, 2014, с. 126-175.
  16. Vitale, Richard A. "A Bernstein polynomial approach to density function estimation". Statistical Inference and Related Topics 2 (1975): p. 87-99.
  17. Babu, G. Jogesh, Angelo J. Canty, and Yogendra P. Chaubey. "Application of Bernstein polynomials for smooth estimation of a distribution and density function". Journal of Statistical Planning and Inference 105.2 (2002): p. 377-392.
  18. Зубов В.И. Аппроксимация локализованных вероятностных распределений // В.И. Зубов. Процессы управления и устойчивость.- СПб., 1999-с. 294-299.
  19. Тукачев П.А. Непараметрические методы нахождения плотности распределения вероятностей // Процессы управления и устойчивость: Тр. XXX науч. конф.- СПб., 1999.- С. 397-401.
  20. Bradley C. Turnbull, Sujit K. Ghosh. Unimodal density estimation using Bernstein polynomials. Computational Statistics & Data Analysis, 2014, Vol. 72, April 2014, pp. 13-29, DOI https://doi.org/10.1016/j.csda.2013.10.021
  21. Ghosh S.K., Burns C., Prager D., Zhang L., Hui G., On nonparam etricestimation of the latent distribution for ordinal data. Computational Statistics and Data Analysis (2017), https://doi.org/10.1016/j.csda.2017.10.001
  22. Золотарев В.М. Метрические расстояния в пространствах случайных величин и их распределений / Матем. сб., 1976, том 101(143), номер 3(11), с. 416-451.
  23. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 416 с.
  24. MacKay, David J.C. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. First ed. Cambridge University Press, 2003. p. 34.
  25. Anderson, Theodore W., and Donald A. Darling. Test of goodness of fit." Journal of the American Statistical Association 49.268 (1954): p. 765-769.
  26. Stephens, M., 1974. Components of goodness-of-fit statistics. Annales de l’Institute Henri Poincare, Section B (Calcul des Probabilites et Statistique) 10, p. 37-54.
  27. Anscombe, F., Aumann, R., 1963. A definition of subjective probability. Annals of Mathematical Statistics 34, p. 199-205.
  28. Кулешов Е.Л. Интервальная оценка функции распределения вероятностей // Автометрия. 2015. Т. 51, № 2 с. 23-26.