ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН English Войти Подать статью
Журнал радиоэлектроники Электронный научный журнал · eISSN 1684-1719
2012, № 11 · ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Расчет электрических потенциалов, создаваемых дипольным токовым источником в эллиптическом проводящем цилиндре конечной длины

Н.О. Стрелков1, М.Н. Крамм1

1 Национальный исследовательский университет «МЭИ», Россия
Полный текст (PDF) EDN PJJIBR

Аннотация

Целью данной работы является реализация аналитического метода расчета электрических потенциалов, возбуждаемых токовым диполем в эллиптическом проводящем цилиндре конечной длины. Необходимость в таком методе связана с расчетом потенциалов на поверхности грудной клетки в прямых задачах электрокардиографии в квазистатическом приближении. В работе рассматривается аналитический способ расчета электрических потенциалов, основанный на разложении потенциала в двойные ряды по угловым и радиальным вариациям с использованием аппарата функций Матье. Предложены методики расчета и нормировки функций Матье. Рассматривается вопрос о выборе числа членов при суммировании двойных рядов. Проводится проверка предложенных формул путем сопоставления с результатами, полученными численными методами и другими авторами. Сравниваются распределения поверхностных потенциалов для кругового цилиндра (ряды с функциями Бесселя) и эллиптического цилиндра с малым эксцентриситетом.

  • распределение потенциала
  • проводящее тело
  • дипольный токовый источник
  • прямая задача
  • эллиптический цилиндр
  • периодические и модифицированные функции Матье
Abstract (in English)

The aim of this work is the realization of the analytical method of calculation of electrical potentials, produced by the current dipole in elliptical conducting cylinder of finite length. The need for such a method is associated with the calculation of the potentials on the surface of the chest in the direct problems of cardiology in the quasi-static approximation. The work deals with the analytical method for calculation of electric potential, based on the expansion of potential in double series with respect to the angular and radial variations by using the Mathieu functions. Method of calculation and normalization of Mathieu functions is proposed. The question of choosing the number of the members of the summation of double series is considered. The proposed formulas checked by comparison with the results obtained by numerical methods and other authors. The distributions of surface potentials for a circular cylinder (series with Bessel functions) and for elliptic cylinder with a small eccentricity are compared.

Для цитирования

Стрелков Н.О., Крамм М.Н. Расчет электрических потенциалов, создаваемых дипольным токовым источником в эллиптическом проводящем цилиндре конечной длины // Журнал радиоэлектроники. – 2012. – № 11.

Литература

  1. Титомир Л.И., Кнеппо П. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца. - М.: Наука. Физматлит, 1999. - 447 с.
  2. Wilson F.N., Вауlеу R.Н. The electric field of an eccentric dipole in а homogeneous spherical conducting medium. // Circulation. 1950. V. 1. P. 84.
  3. Yeh G.C.K., Martinek J. The potential of a general dipole in a homogeneous conducting prolate spheroid. // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1957. V. 65. N. 6. P. 1003-1006.
  4. Berry P.M. N, M space harmonics of the oblate spheroid // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1957. V. 65. N. 6. P. 1126-1134.
  5. Frank E. The Zero-Potential Contour on a Homogeneous Conducting Cylinder. IRE Trans. Med. Electron. 1, 27 (1953).
  6. Burger H.C., Tolhoek H.A., Backbier F.G. The potential distribution on the body surface caused by a heart vector. // Amer. Heart. J. 1954. V. 48. N. 2. P. 249-263.
  7. Okada R.H. Potential produced by an eccentric current dipole in a finite-length circular conducting cylinder // IRE Trans. Med. Electron. 1956. V. 7. P. 14.
  8. Cornelis J.P.H., Nyssen E.H.G. Potentials Produced by Arbitrary Current Sources in an Infinite- and Finite-Length Circular Conducting Cylinder. // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1985. V. BME-32. P. 993-1000.
  9. Heringa A., Stegeman D.F. Comments on "Potentials produced by arbitrary current sources in an infinite- and finite-length circular conducting cylinder" // IEEE Trans. Biomed. Eng. 1987. V. BME-34. P. 73.
  10. Mathews J., Walker R.L. Mathematical Methods of Physics. - Benjamin, New York, 1964, pp. 255-257.
  11. Стрелков Н.О., Крамм М.Н., Винокуров Д.С. Методика расчета ЭКГ-карт наружных потенциалов для модели торса человека в виде кругового цилиндра // Сборник статей V Всероссийской научно-технической конференции "Информационные и управленческие технологии в медицине и экологии". - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. - 164 с. С. 106-108.
  12. Стрелков Н.О., Винокуров Д.С., Крамм М.Н. Методика реконструкции параметров токового диполя сердца на модели торса человека в виде кругового цилиндра. // Медико-экологические информационные технологии - 2011: сборник материалов XIV Междунар. научн.-техн. конф. / редкол.: Н.А. Кореневский [и др.]; Юго-Зап. гос. ун-т. - Курск, 2011. - 315 с. С. 142-145.
  13. Стрелков Н.О., Крамм М.Н., Жихарева Г.В. Неоднородная электродинамическая модель грудной клетки человека в форме эллиптического цилиндра // Журнал радиоэлектроники. - 2011. - № 7. - [Электронный ресурс]. - URL http://jre.cplire.ru/jre/jul11/4/text.html (дата обращения 22 ноября 2012 г.).
  14. Evrard R., Schmeits M., Troquet J. Calculation of the electrostatic-potential distribution in ohmic elliptical cylinders fed by a dipole source. // Journal of Applied Physics, vol. 91, no. 11, pp. 9393-9400, June 2002.
  15. Barton G. Elements of Green’s Functions and Propagation. Clarendon, Oxford, 1989.
  16. Lambin Ph., Troquet J. Complete calculation of the electric potential produced by a pair of current source and sink energizing a circular finite-length cylinder. // J. Appl. Phys. 1983. V. 54(7). P. 4174.
  17. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. Пер. с англ. - М.: Издательство иностранной литературы. 1953. - 475 с.
  18. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Наука, 1979. 832 с.
  19. Clemm D. Algorithm 352 Characteristic values and associated solutions of Mathieu' differential equation. // Comm. of the ACM, 12(7), pp.399-408, July 1969.
  20. Rengarajan S.R., Lewis J.E. Mathieu Funсtions of Integral Order and Real Arguments. // IEEE Trans. Microw. Theory and Tech., MTT-28(3), pp. 276-277, March 1980.
  21. Shirts R.B. Algorithm 721 MTIEU1 and MTIEU2: Two subroutines to compute eigenvalues and solutions to Mathieu' differential equation for noninteger and integer order. // ACM Trans. Math. Soft., 19(3), pp. 391-406, Sept. 1993.
  22. Toyama N., Shogen K. Computation of the value of the even and odd mathieu funtions of order n for a given parameter s and an argument x. // IEEE Trans. Ant. and Propagat., AP-32(5), pp.537-539, May 1994.
  23. Zhang S., Jin J. Computation of special functions. - John Wiley & Sons Inc., New York. 1996. - 717 p.
  24. Mathieu Functions - GNU Scientific Library - Reference Manual. - URL: http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Mathieu-Functions.html. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  25. Special functions (scipy.special) - SciPy v0.11 Reference Guide (DRAFT). - URL: http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/special.html. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  26. Chaos-Cador L., Ley-Koo E. Mathieu functions revisited: matrix evaluation and generating functions. // Revista mexicana de física 48.1 (2002): p.67-75.
  27. Früchting H. Fourier Coefficients of Mathieu Functions in Stable Regions. // J. of Research of Nac. Bureau of Standards, 73B(1), pp. 21-24, Jan. 1965.
  28. Leeb W. Algorithm 537 Characteristic values of Mathieu' differential equation. // ACM Trans. Math. Soft., 5(1), pp. 112-117, March, 1979.
  29. Hodge D.B. The calculation of the eigenvalues and eigenvectors of mathieus equation. Nasa contractor report, The Ohio State University, Columbus, Ohio, 1972.
  30. Mathieu Functions Toolbox v.1.0 - File Exchange - MATLAB Central. - URL: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22081-mathieu-functions-toolbox-v-1-0. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  31. Vibration Modes of an Elliptic Membrane - File Exchange - MATLAB Central. - URL: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/6500-vibration-modes-of-an-elliptic-membrane. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  32. General Mathieu functions with arbitrary parameters V1.0 - File Exchange - MATLAB Central. - URL: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27101-general-mathieu-functions-with-arbitrary-parameters-v1-0. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  33. Mathieu Functions. - URL: http://www.roguewave.com/products/imsl-numerical-libraries/functional-catalog/mathematical-special-functions/mathieu-functions.aspx. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  34. Coisson R., Vernizzi G., Yang X. Mathieu functions and numerical solutions of the Mathieu equation. // Open-source Software for Scientific Computation (OSSC), 2009 IEEE International Workshop on. IEEE, 2009.
  35. Scilab - The Free Software for Numerical Computation - Scilab WebSite [Электронный ресурс]. - URL http://www.scilab.org/ (дата обращения 22 ноября 2012 г.).
  36. Coisson R., Vernizzi G., Yang X.K., Strelkov N., Baudin M. Mathieu functions toolbox. - URL: http://atoms.scilab.org/toolboxes/Mathieu/. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  37. Kirkpatrick E.T. Tables of Values of the Modified Mathieu Functions. Mathematics of Computation, Vol. 14, No. 70 (Apr., 1960), pp. 118-129.
  38. Gutiérrez-Vega J.C., Rodríguez-Dagnino R.M., Meneses-Nava M.A., Chávez-Cerda S. Mathieu functions, a visual approach. American Journal of Physics, 71 (233), 233-242.
  39. Blanch G., Clemm D.S. Tables relating to the radial Mathieu functions. Volume 1. Functions of the First Kind. ARL, US Air Force. 1963.
  40. Blanch G., Clemm D.S. Tables relating to the radial Mathieu functions. Volume 2. Functions of the Second Kind. ARL, US Air Force. 1963.
  41. Goldstein S. Mathieu functions. // Trans. Cambridge Phi1. Soc. 23: 303-336, 1927.
  42. Mathieu functions - Toolbox containing Mathieu's functions - URL: http://forge.scilab.org/index.php/p/mathieu/. Дата обращения 22 ноября 2012 г.
  43. Forsythe G.E., Malcolm M.A., Moler C.B. Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, 1976.
  44. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.
  45. inpaint_nans - File Exchange - MATLAB Central. - URL: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/4551-inpaintnans. Дата обращения 22 ноября 2012 г.