ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ. ISSN 1684-1719. 2022. №10
Оглавление выпускаТекст статьи (pdf)
DOI: https://doi.org/10.30898/1684-1719.2022.10.10
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ВЫСОТ ПРАВИЛЬНЫХ СИМПЛЕКСОВ ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ
РАЗМЕРНОСТИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
А.Ю. Гришенцев 1, А.Г. Коробейников 2
1 Национальный исследовательский университет ИТМО
197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, лит. А.
2 Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН, Санкт-Петербургский филиал
199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.5.
Статья поступила в редакцию 6 сентября 2022 г.
Аннотация. Проблема сферической упаковки и проблема распределения точек на сфере являются известными нерешёнными математическими проблемами. В частности, проблема распределения точек на сфере входит в известный список нерешённых математических проблем Стива Смейла. Соответственно, значительный интерес для исследования представляет как непосредственный поиск решения проблем, так и исследования в смежных с известными проблемами областях. В частности, проблема сферической плотной упаковки и упаковки покрытия имеет непосредственную связь с исследованием регулярных, нерегулярных и слоистых решёток, задачами помехоустойчивого кодирования, синтеза и анализа широкополосных сигналов, математическим исследованием многомерных пространств, кристаллографией, методами решения дифференциальных уравнений и вычисления n-мерных интегралов и многими другими частными задачами, и целыми областями знаний. В работе изложены результаты исследований некоторых свойств n-мерных правильных симплексов в евклидовом пространстве. Вектора, образующие n-мерный правильный симплекс задают фундаментальный базис гексагональной решётки. Предметом исследования являются некоторые свойства и закономерности векторного объекта, образующего правильный симплекс в n-мерном евклидовом пространстве, новизна результатов заключается в сформулированной и доказанной теореме, нескольких формулах позволяющих производить рекурсивные и не рекурсивные вычисления некоторых характеристик n-мерных правильных симплексов и сферических гексагональных упаковок. Объектом исследования является n-мерный правильный симплекс. Основные результаты – сформулирована и доказана теорема об асимптотическом характере последовательности высот правильных симплексов при увеличении размерности пространства, сформулированы следствия из теоремы и замечания, дополняющие теорему. В заключении статьи содержатся дополнения и численные примеры с комментариями для некоторых результатов исследований. Практическая значимость заключается в предлагаемом математическом инструментарии, способствующем развитию теории сферической упаковки и исследованию свойств геометрических объектов в n-мерном евклидовом пространстве.
Ключевые слова: n-мерный правильный симплекс, гексагональная решётка, сферическая упаковка, плотная упаковка, помехоустойчивое кодирование, системы автоматизированного проектирования, информационная безопасность, системный анализ.
Финансирование: работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, проект тематики научных исследований № 2019-0898.
Автор для переписки: Гришенцев Алексей Юрьевич, agrishentsev@yandex.ru
Литература
1. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. В 2-х томах. Т. 1. Пер. с англ. Москва, Мир. 1990. 415 с.
2. Braucharta J.S., Grabnerb P.J. Distributing many points on spheres: minimal energy and designs. Journal of Complexity. 2015. V.31. №3. P.293-326 https://doi.org/10.1016/j.jco.2015.02.003
3. Гришенцев А.Ю. Численное решение многомерной проблемы Томсона для упаковки векторов на гиперсфере в задачах широкополосной радиосвязи. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т.19. №4. С.730-739. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2019-19-4-730-739
4. Smale S. Mathematical problems for the next century. Mathematical Intelligencer. 1998. V.20. №2. P.7-15. https://doi.org/10.1007/BF03025291
5. Зюко А.Г., Фалько А.И., Панфилов И.П., Банкет В.Л., Иващенко П.В. Помехоустойчивость систем передачи информации. Москва, Радио и связь. 1985. 272 с.
6. Ветчинкин Н.М. Упаковка равных и мерных шаров, построенные по кодам, исправляющим ошибки. Ученые записки Ивановского гос. университета. 1974. Т.89. С.87-91.
7. Гришенцев А.Ю. Метод синтеза алфавитов ортогональных сигнальных широкополосных сообщений. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2018. Т.18. №6. С.1074-1083. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2018-18-6-1074-1083
8. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. Москва, МЦНМО. 2005. 584 с.
9. Малоземов В.Н., Тамасян Г.Ш. Два быстрых алгоритма проектирования точки на стандартный симплекс. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т.56. №5. С.742-755.
10. Нардов В.В. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Ленинград, изд-во Ленинградского университета. 1974. 143 с.
11. Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия. Москва, КДУ. 2005. 592 с.
12. Ткачук П.Н., Ткачук В.И., Букивский П.Н., Курик М.В. Метастабильный x-центр в монокристаллах теллурида кадмия. Физика твердого тела. 2004. Т.46. №5. С.804-810.
13. Huffman W.C., Sloane N.J.A. Most primitive groups have messy invariants. Adv. in Math. 1979. №32. P.118-127.
14. Рябухин Ю.М., Жугин М.А. Правильный симплекс произвольной размерности и его свойства. Вестник приднестровского университета. Серия: физ.-мат. и технические науки. 2020. Т.3. №66. С.53-58.
15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч. Часть I. 5-ое изд. Москва, Наука, Физматлит, 1998. 616 с.
16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Москва, Айрис-Пресс. 2010. 608 с.
17. Попов В.Л., Зархин Ю.Г. Кольца целых в числовых полях и решетки корней. Доклады российской академии наук. математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.492. №1. С.58-61.
18. Fejes Toth L. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und in Raum. Berlin, Springer. 1953. P.1-24.
19. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. Москва, Наука. 1966. 649 с.
Для цитирования:
Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Исследование асимптотической последовательности высот правильных симплексов при увеличении размерности евклидова пространства. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2022. №10. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2022.10.10