"ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ"  N 5, 2002

оглавление

дискуссия

УДК 517.958, 621.372.8

Спектральные свойства волноводов с неоднородным заполнением

Боголюбов А.Н., Малых М.Д.

119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т, каф. математики;

malykham@mtu-net.ru

Получена 24 мая 2002 г.

Рассмотрены спектральные свойства цилиндрических волноводов с локально неоднородным заполнением в скалярном приближении.

В первой части задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, сведена к интегральному уравнению, в которое спектральный параметр входит нелинейным образом. При этом в разделе показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения волновода, а комплексные собственные значения - как комплексные собственные значения волновода.

Вторая часть посвящена вопросам существования вложенных ловушечных мод у волноводов с неоднородным заполнением. Среди заполнений выделено заполнение типа ''вставки'', поскольку для заполнения этого типа существует бесконечная последовательность собственных значений. Доказана неустойчивость вложенных собственных значений волновода с заполнением типа вставки к малым вещественным возмущениям его заполнения; для плоского волновода с заполнением типа простой вставки такое возмущение построено явно.

Разрешение задачи о возбуждении колебаний в таких волноведущих системах финитным током вида j e^{-i wt} затруднено весьма интересным физическим явлением - явлением резонанса. Именно, оказывается, что поле, гармонически зависящее от времени, существует лишь при частотах w, не принадлежащих так называемому резонансному множеству.

Резонансное множество регулярного полого волновода состоит только из частот отсечки a_n, которые можно вычислить как квадратные корни из собственных значений задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа на сечении волновода (в скалярном случае - только задачи Дирихле). Следует отметить, что при малых частотах большая часть энергии поля, возбужденного током j e^{-i wt}, локализована, а начиная с некоторой частоты w[j] от области, где имеется ток, расходятся бегущие волны. Можно показать, что эта частота w[j], при которой происходит переход на режим излучения, обязательно является частотой отсечки [1]-[3],[6].

Поведение поля при резонансных частотах стало предметом исследований П. Вернера [7], начатых еще в 1960-х года. Оказалось, что в регулярном волноводе при частотах отсечки существует лишь поле, амплитуда которого растет как Цt. В более сложных системах к резонансному множеству следует прибавить еще другие частоты, при которых существует лишь поле, амплитуда которого растет как t.

В скалярном приближении задача о возбуждении колебаний током в локально нерегулярном волноводе при частотах, отличных от частот отсечки, является фредольмовой, то есть из единственности ее решения следует существование (обобщенного) решения. Было также показано, что решения однородной задачи, называемой также спектральной, удовлетворяющие парциальным условиям излучения, принадлежат пространству L². Поэтому появление резонансных частот, отличных от частот отсечки, связано с существованием у соответствующей спектральной задачи собственных функций из L².

В работах В.П. Шестопалова обоснование этого утверждения было основано на возможности сведения задачи о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, к интегральному уравнению. В работах А.Л. Делицына был предложен другой подход, который позволяет единообразно доказать фредгольмовость задачи о возбуждении колебаний током как в скалярном, так и электромагнитом случаях, правда, только при вещественных частотах.

Вопрос о существовании собственных значений спектральной задачи для волноведущих систем является чрезвычайно трудным. На саму возможность существования собственных значений у спектральных задач в неограниченных областях впервые указал Ф. Реллих [8] в 1948 году. Затем в работах Д. Джонса, Экснера и Себы, Д.В. Эванса, М. Ливитина, Д. Васильева и Л. Парновского, М. Гровса был построен ряд примеров таких волноведщих систем, именно, ряд локально нерегулярных волноводов или изогнутых волноводов.

С физической точки зрения такие собственные функции представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Во всех этих примерах поле убывает экспонециальным образом. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', и поэтому их называют ловушечными модами. Впрочем, как было показано в [9], в гофрированных волноводах существуют собственных функции, убывающие существенно медленнее - именно степенным образом.

Следует учитывать, что те собственные значения спектральной задачи для волновода, которые выше первой частоты отсечки, вложены в существенный спектр. Поэтому к ним нельзя применить ни принцип Рэлея, ни теорию возмущения Реллиха-Като. Поэтому к настоящему моменту фактически исследовано лишь существование изолированных собственных значений, то есть меньших первой частоты отсечки.

В работе [10] было особо отмечено, что в вопросе о существования вложенных собственных значений нет продвижения дальше построения примеров и было предложено выяснить сохраниться ли собственное значение у волноведущей системы, если слегка возмутить ее параметры. Хотя теория возмущения для вложенных собственных значений давно привлекает внимание математиков, последняя далека от своего завершения и ответ на поставленный вопрос неясен.

Настоящая работа посвящена сравнительно мало изученным спектральным свойствам цилиндрических волноводов, заполненных неоднородным (локально неоднородным) веществом, в скалярном приближении (См. также [11]-[14]). Одной их основных целей настоящей работы является изучение поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения. То, что рассматривается возмущения заполнения, а не границы, связано с тем, что этот случай несколько ближе к рассмотренному в теории возмущений, построенной Дж. Хаулендом [15]-[16] для исследования квантовомеханических комплексных резонансов.

Изучение спектральных характеристик основано на возможности сведения задачи о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, к интегральному уравнению, в которое спектральный параметр входит нелинейным образом. Такое сведение для гладкого заполнения было проделано в работах Голдстейна [17] и В.П. Шестопалова [18]. Поскольку кусочно-непрерывное заполнении важно для приложений во второй главе процедура сведения проведена заново несколько иным методом. Поэтому первая часть второй главы содержит полное изложение спектральной теории волноводов, заполненных неоднородным веществом. При этом в разделе 1.2 показано, что вещественные собственные значения этого интегрального уравнения можно интерпретировать как собственные значения волновода, а комплексные собственные значения - как комплексные собственные значения волновода. Более того, удается доказать, что кратности собственных значений интегрального уравнения являются кратностями собственных значений волновода.

Вторая часть посвящена вопросам существования вложенных ловушечных мод у волноводов с неоднородным заполнением и в первую очередь изучению поведения вложенных в непрерывный спектр собственных значений волновода при малых возмущениях его заполнения.

В разделе 2.2 среди заполнений выделено заполнение типа ''вставки'', поскольку для заполнения этого типа существует бесконечная последовательность собственных значений (при выполнении некоторых дополнительных условий) [11]. Более того, в случае заполнения типа ''простой вставки'' и ''колена'' собственные значения найдены как корни трансцендентных уравнений.

Затем в разделе 2.3 рассматривается устойчивость вложенных собственных значений волновода с заполнением типа вставки к малым вещественным возмущениям его заполнения. При этом получается, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения волновода с заполнением типа вставки переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.

В работе [12] это утверждение получено как следствие формального применения теории возмущения к исходной спектральной задаче, а в разделе 2.3 уже построена строгая теория возмущения для вложенных собственных значений волновода. Поскольку в перовой части собственные значения волновода были ассоциированы с собственными значениями интегрального оператора, для обоснования формальных выкладок фактически требуется только построить теорию возмущений для компактных оператор-функций, что и сделано в приложении к статье [14].

Простой пример, приведенный в работе [13], показывает, что неустойчивость к малым возмущениям параметров задачи - весьма характерное свойство вложенных собственных значений (рассмотрение этого примера основано на методе Фубини). В разделе 2.4 для плоского волновода с заполнением типа простой вставки возмущение, при котором исчезает одно из вложенных собственных значений, построено явно.

1  Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненном неоднородным веществом.

Для того, чтобы наглядно изложить основные идеи исследования, мы здесь ограничимся рассмотрением скалярного случая, являющегося математической моделью акустического волновода. Перенесение этих идей на электромагнитный случай связано в основном лишь с техническими трудностями.

Рассмотрим волновод

W = { x О R1, y О S }

сечения S, представляющего собой односвязную конечную область в R¹ или R²; в последнем случае y=(y₁, y₂)^T - двумерный вектор. Пусть он заполнен неоднородным веществом, которое характеризуется кусочно-непрерывным заполнением q(x,y). Будем считать, что в волноводе не происходит затухания колебаний, то есть, что q(x,y) - вещественная, и что неоднородность в заполнении локальная, то есть, что

Supp q(x,y) -1 М Wў = [a,  b] ДS.

Задачу о возбуждении колебаний током f, локализованным в Wў, можно поставить так

м п н п о Du + lq(x,y) u = f,     Supp f М Wў u| ¶W = 0.

(1)

Основную сложность при рассмотрении задачи (1) представляет учет условий на бесконечности, в качестве которых мы будем использовать парциальные условия излучения; их постановка была осуществлена в [5]. Именно, будем далее искать только те решения задачи (1), которые удовлетворяют парциальным условиям излучения в соответствии с определением:

Определение 1 Пусть a_n² - собственные значения задачи Дирихле для оператора Лапласа на сечении S, а y_n(y) - соответствующие им собственные функции. Если при x > b имеет место представление

u = е  Cmўў 2 gm (l) ei gm (l) x ym(y),

где g_n(l) = Ц{l-a_n²}, и аналогичное при x < a, то есть при больших |x| поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет (парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника, говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней g_n, то есть такие, что при lnot О (a²_n, +Ґ) верно неравенство

Бgn (l) > 0 ,

а при l О (a²_n, +Ґ) -

gn (l) > 0 .

Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия излучения называют побочными.

Поскольку решение, удовлетворяющее условиям излучения, не всегда принадлежит W¹₂(W), естественно искать обобщенное решение задачи (1), принадлежащее более широкому линейному пространству. Именно, введем пространство W  ¹_{2,  loc}(W) как множество всех функций, представимых в виде суммы функции из C(W), быть может не лежащей даже в L²(W), но равной нулю на границе ¶W, и функции из W  ¹₂(W). Тогда обобщенную постановку задачи (1) можно записать в виде: найти u О W  ¹_{2,  loc}(W), удовлетворяющую уравнению

(Dw,   u)L2 (W)+ l(w,   q u) L2(W) = (w,  f)L2 (W)     "w О CҐ0(W).

1.1  Резольвента регулярного волновода.

Выясним сначала поведение резольвенты задачи (1) в простейшем случае полого волновода. В этом случае методом разделения переменных ее можно явно построить, то есть показать, что задача

([D+ l] w,   u )L2 (W) = (w,  v)L2 (W)     "w О CҐ0(W),

(2)

где Supp v О W’, имеет единственное решение u О W  ¹_{2,  loc}(W), удовлетворяющее парциальным условиям излучения.

Предположим, что задача (2) имеет обобщенное решение u(x,y) О W  ¹_{2,  loc}(W) при данном l, тогда оно представимо виде суммы непрерывной функции, которая заведомо принадлежит L²(S) при любом x, и функции u’(x,y) О W  ¹₂(W). Поскольку при любом x

у х S  |u’(x,y)|2  dy = x у х -Ґ  у х S   ¶ ¶x |u’(x,y)|2  dxdy Ј Const||u’||2W  12(W),

функция u’ тоже принадлежит L²(S). Поэтому и u(x,y) О L²(S) при любом x и ее можно разложить в сходящийся по норме L²(S) ряд

u = Ґ е n=1  un(x) yn(y)

(3)

по собственным функциям y_n задачи

м п н п о D^ y+ a2 y = 0 u| ¶S = 0,

(4)

на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой задачи (так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания.

Для вычисления коэффициентов u_m(x) подставим в (2) w(x,y) = w(x)y_n(y) и получим

Ґ у х -Ґ  ( w’’ um + (l-a2m) w(x) um(x)- w(x) v(x)) dx = 0     "w О CҐ0(R1),

то есть u_m(x) является обобщенным решением уравнения

umўў+(l-a2m)um = vm.

Его решение при помощи функции Грина можно представить в виде:

um(x) =  i 2 gm (l) Ґ у х -Ґ  d xei gm (l) |x-x| vm(x) + Cm ei gm (l) x +Cmўe- i gm (l) x ,

(5)

где значение корня g_n (l) ² = l- a²_n может быть как главным так и побочным [26].

При x > b имеет место представление

u = е  Cmўў 2 gm (l) ei gm (l) x ym + Cm ei gm (l) x ym +Cmўe- i gm (l) x ym

(6)

и аналогично при x < a

u = е  Cmўўў 2 gm (l) e- i gm (l) x ym + Cm ei gm (l) x ym +Cmўe- i gm (l) xym.

(7)

Поэтому для того, чтобы u удовлетворяла парциальным условиям излучения, необходимо, чтобы C_m=C_m’=0. Значит, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение задачи (2), если оно вообще существует, имеет вид

u = R0(l) v,

где

R0(l)v = Ґ е n=1   i 2 gn (l) у х W  dxd hei gn (l) |x-x| yn(h)yn (y)   v(x, h).

(8)

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1 Пусть v О L²(Wў) и в формуле (8) все корни g_n(l), начиная с некоторого n, имеют главное значение. Тогда ряд для R₀(l)v сходится по норме W  ¹₂(W) и является обобщенным решением задачи (2). Более того, в этом случае в окрестности любой точки l₀ not = a²_n, найдется такое N, что N-ый остаток R₀^N ряда для R₀(l) принадлежит L(L²(Wў), W  ¹₂(W)) и регулярен там.

Замечание 1 Запись A О L(E, F) означает, что оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово пространство E в подмножество банахова пространства F [27].

Замечание 2 В общем электромагнитном случае резольвента полого волновода впервые была строго математически построена в работе А.Н. Тихонова и А.А. Самарского [1],[3]. В [7], [18] особо разбирался скалярный случай при v О C^Ґ₀(W). В частности, в работе [7] указано, что ряд для R₀ v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С, если v О C^Ґ₀(W’) и поэтому является классическим решением задачи (2).

Доказательство. Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l₀ not = a²_n. По условию значения g_n(l) становятся главными, начиная с некоторого номера, тогда найдется столь большое N, что Бg_n(l) > 0 при n і N. Но любая функция v О L²(Wў) может быть представлена в виде

v(x,y) = N-1 е n=1  (yn, v)L2(S) yn (y) + vў,

где vў - функция, ортогональная к y₁, ... y_N-1. Подстановка

u = N-1 е n=1   i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  ei gn (l) |x-x| (yn, v)L2(S) yn (y) + uў

приводит к задаче

([D+ l] wў,   uў)L2 (W) = (wў,  vў)L2 (W)     "wў О CҐ0(W).

(9)

У этой задачи существует решение из W  ¹₂(W).

В самом деле, в силу теоремы Рисса [20],[19] задача (9) в пространстве

{ u О W  12(W) :     (u,   yn) = 0,     n=1, ..., N-1 }

имеет вид

uў+ lA uў = H vў,

где A О L (W  ¹₂(W), W  ¹₂(W)) и H О L(L²(W’), W  ¹₂(W)) - ограниченные эрмитовы операторы, заданные билинейными формами:

(w, A v)W  12(W) = у х W  wv q  dxdy,

(w, H v)W  12(W) = у х W  wv  dxdy.

Ограниченность H можно доказать следующим образом. Поскольку для любой w О W  ¹₂(W)

(w, H v)W12=(w,v)L2 Ј ||w||L2||v||L2

и ||w||²_L² Ј 4 (diam S)² ||w||²_W¹2 (см. [28]), верно неравенство

|| H || Ј 2 diam S є h.

При l₀ not О [a²₁, + Ґ) существует резольвента (E+lA)^-1, регулярная в окрестности точки l₀. Поэтому справедлива оценка

(w, (E+lA)-1 H v)W12 Ј h ||(E+lA)-1||W12 ||v||L2 ||w||W12.

Это означает, что в окрестности такой точки l₀

(E+lA)-1 H О L (L2(Wў), W  12(W))

Поэтому в этой окрестности существует решение u’ задачи (), именно:

uў = (E+lA)-1H vў,

а значит, и решение задачи (2), которое имеет вид

u = N-1 е n=1   i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  ei gn (l) |x-x| (yn, v)L2(S) yn (y) + (E+lA)-1 H vў.

С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R₀ v, поэтому остаток резольвенты

R0N(l) = (E+lA)-1 H

и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности l₀ оператор функцией, принадлежащей L (L²(Wў), W  ¹₂(W)).

Если же a²_N > l₀ > 0, то отсюда следует, что у задачи (2) имеются решения при l₀ + 0i и l₀ - 0i, и они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с a²_N, а собственных значений у него нет. (Ср. [21]) Значит, и при таких l₀ опять существует резольвента (E+lA)^-1, регулярная в окрестности точки l₀. Повторяя сказанное выше, опять получим, что

R0N (l) = (E+lA)-1 H О L(L2(Wў),W  12(W)).

1.2  Сведение исходной задачи к интегральному уравнению.

Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является регулярной аналитической функцией на римановой поверхности f с точками ветвления a²_n. Весьма замечательно, что ту же риманову поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи (1).

В самом деле, пусть v О L²(Wў) удовлетворяет задаче

v - A(l) v = f,

(10)

где

A(l)=- l(q-1) R0 (l),

а q(x,y) та же, что и в задаче (1). (Здесь и далее под l подразумевается точка римановой поверхности f, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду выбрана одна и та же ветвь R₀(l)). Положим

u = R0 (l) v,

тогда в силу теоремы 1 u как решение задачи (2) принадлежит W  ¹_{2,  loc}(W) и удовлетворяет уравнению

([D+ l] w, u) = ([D+ l] w, R0 (l) v) = (R0 (l)*[D+ l] w, v) =

= (w, v) = (w, - l[q-1]u + f),

то есть u есть обобщенное решение задачи (1). К тому же эта функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в зависимости от выбора значения корней g_n в R₀(l). Таким образом для построения решения задачи (1), удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить задачу (10). Преимущество же задачи (10) состоит в следующем.

Теорема 2 Оператор-функция A(l) является компактной и голоморфной на римановой поверхности f.

Доказательство. Пусть l₀ - любая регулярная точка поверхности f. Из теоремы 1 следует, что R₀(l) является суммой конечного числа интегральных операторов вида

i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   )L2(S) yn (y)

и остатка R₀^N (l) О L(L², W  ¹₂(W)), регулярного в окрестности l₀. В силу компактности носителя q-1 операторы

[q(x,y)-1][ 1/2]  i 2 gn (l) Ґ у х -Ґ  d xei gn (l) |x-x| (yn,   .   )L2(S) yn (y)

как и

[q(x,y)-1] [ 1/2]R0N (l)

принадлежат L(L²(Wў), L²(Wў)), являются регулярными в окрестности l₀ и, после домножения на компактный оператор [q(x,y)-1]^[ 1/2], становятся компактными, а следовательно то же верно и для их суммы A (l).

Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [29] следует, что для задачи (10) верна альтернатива: или при данном l задача

v -A(l) v = f

однозначно разрешима при любой f О L²(Wў), или l является собственным значением оператора A(l), то есть существует нетривиальное решение v О L²(Wў) уравнения

v -A(l) v = 0.

Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с собственными значениями задачи (1), условимся о следующем.

Определение 2 Точка e римановой поверхности f называется резонансной точкой волновода, если существует нетривиальное решение u О W  ¹_{2,  loc}(W) задачи

(Dw,   u)L2 (W)+ e(w,   q u) L2 (W) = 0     "w О CҐ0 (W),

(11)

удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u - собственной функцией; функцию u₁ О W  ¹_{2,  loc}(W) называют присоединенной к u, если она является решением задачи

(Dw,   u1)L2 (W)+ e(w,   q u1) L2 (W) = -(w,   q u)     "w О CҐ0 (W)

удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f.

Если же резонансная точка e О f не принадлежит главному листу и его границе, то ее называют комплексным резонансом (комплексной резонансной точкой).

Традиция называть резонансные точки, отличные от собственных значений, комплексными связана со следующей теоремой.

Теорема 3 Все собственные значения волновода, лежащие на главном листе вещественны и положительны, а соответствующие им собственные функции принадлежат L².

Замечание 3 Для случая достаточно гладких q эта теорема приведена в [18].

Доказательство. В силу условий излучения все собственные функции волновода, не лежащие на разрезе e not О [a²₁,+Ґ), принадлежат L²(W) и поэтому в силу самосопряженности оператора D все собственные значения волновода вещественны.

Пусть u отвечает собственному значению a²_N < l < a²_N+1. В силу условий излучения вне W’ = x О [a,b] эта функция имеет вид

u = N е n = 1  Cn ei Ц{l-an2} x yn + Ґ е n = N+1  Cn e- Ц{an2- l} xyn

при x > b, и

u = N е n = 1  Cn’ e-i Ц{l-an2} xyn + Ґ е n = N+1  Cn’ e Ц{an2- l} xyn

при x < a. В силу леммы Вейля [28] обобщенное решение (11) принадлежит C² всюду в W вне разрывов q и следовательно можно вычислить по частям интеграл

у х W’  ( |Сu|2 + e|u|2) d t = у х W’  u*(-Du + eu) d t+ N е n = 1  i Ц   l-an2   (|Cn|2 + |Cn’|2)+

+ Ґ е n = N+1  Ц   an2- l   (|Cn’|2 e Ц{an2- l} b-|Cn|2 e- Ц{an2- l} a)

(Интегралы по поверхностям разрыва q пропадают, поскольку u О C¹(W) как решение обобщенной задачи (11).) Взяв мнимую часть получим

N е n = 1  Ц   l-an2   (|Cn|2 + |Cn’|2) = 0,

откуда

Cn = Cn’ = 0

при всех n = 1, ..., N, и значит u О L²(W).

Заметим, что, если q О C¹(W), в силу леммы Вейля [28] обобщенное решение (11) принадлежит C²(W), и следовательно является классическим. Если же u - классическое решение задачи (11), тогда можно положить v = (D+ e) u є - e (q-1) u. Значит,

v + e (q-1) R0 v = (D+ e) u + e (q-1) u = 0,

то есть v - собственная функция оператора A. Обратное верно и без предположения о том, что q О C¹(W).

Теорема 4 Если e О f - собственное значение оператора A(l), а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное значение e является резонансной точкой волновода.

Если e лежит на главном листе f, то оно является собственным значением волновода и его кратность как собственного значения оператора A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных функция волновода.

Более того собственной функции v отвечает собственная функция волновода u=R₀(e) v , а функции v₁, присоединенному к собственной функции v оператора A(l), отвечает функция

u1 = R0(e) v1 + R0ў(e) v ,

присоединенная к собственной функции волновода u=R₀(e) v. (Здесь R₀’(e) означает [(d R₀(l))/(d l)] |_{l = e}.)

Доказательство. Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора A, то существует не только собственная функция v О L²(Wў), удовлетворяющая задаче

v - A(e) v = 0,

но и u = R₀(e) v , которая является обобщенным решением задачи (11). По определению это означает, что e является резонансной точкой волновода.

Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u является собственной функцией волновода, отвечающей собственному значению e.

Покажем, что функция

u1 = R0(e) v1 + R0ў(e) v

является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех w О C^Ґ₀ (W) во-первых,

((D+e q) w,  R0 v1) = ((D+e) w,  R0 v) +(w,  e (q-1) R0 v) =

= (w,  v1 + e(q-1)R0 v1) = (w, Aў(e) v) =

= -(w, (q-1)R0 v + e (q-1)R0ўv),

а во-вторых, и в силу

((D+ l) w, R0(l) v) = (w, v)

верно соотношение

((D+ l) w, R0ўv) = - (w, R0 v)

и поэтому

((D+ eq)w,  R0ўv)=(w,  e(q-1)R0ўv - R0 v).

Складывая эти равенства, получим

((D+ eq) w,  u1) = -(w, (q-1)R0v + R0v)=-(w,  q u).

Значит, u₁ действительно является присоединенной функцией.

Однако, из самосопряженности оператора D+ lq при вещественных l и q следует, что у собственных функций нет присоединенных. В самом деле, имеем

(u,(D+ e q) u1) = ((D+ e q)u, u1) = 0 = -(u, q u) not = 0,

что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно, как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует, а следовательно, не существует и v₁, поэтому кратность собственного значения e оператора A равна количеству его линейно независимых собственных функций. По предыдущему между этими функциями и собственными функциями волновода существует взаимно однозначное соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно независимых собственных функций.

Подчеркнем особо, что кратность собственного значения волновода, то есть количество линейно независимых собственных функций, совпадает с кратностью собственного значения оператора A. Это весьма важно при рассмотрении зависимости собственных значений волновода от параметров заполнения.

Подводя итог всему сказанному, можно утверждать, что задача (1) с главными условиями излучения разрешима при всех lnot О a²_n, отличных от собственных значений волновода. Это утверждение сводит исследование вопроса о существовании решения задачи (1) к исследованию свойств соответствующей спектральной задачи.

2  Ловушечные моды волноводов, заполненных неоднородным веществом.

Вопрос о существовании ловушечных мод у локально нерегулярных волноводов является чрезвычайно сложным; при его разрешении следует учитывать, что те собственные значения спектральной задачи для волновода, которые выше первой частоты отсечки, вложены в непрерывный спектр и поэтому к ним нельзя применить ни принцип Рэлея, ни теорию возмущения Реллиха-Като. Поэтому к настоящему моменту фактически исследовано лишь существование изолированных собственных значений, то есть меньших первой частоты отсечки. В [10] было особо отмечено, что в вопросе о существования вложенных собственных значений нет продвижения дальше построения примеров и было предложено выяснить сохраниться ли собственное значение у волноведущей системы, если слегка возмутить ее параметры. Хотя теория возмущения для вложенных собственных значений давно привлекает внимание математиков, последняя далека от своего завершения и ответ на поставленный вопрос заранее неясен. Это связано с тем, что в отличие от изолированных собственных значений вложенные собственные значения могут становиться комплексными резонансными точками при малых компактных возмущениях (См. [15]-[24], а также [13].)

2.1  Спектральные свойства волновода, заполненного неоднородным веществом.

Благодаря сведению исходной задачи к интегральному уравнению, теперь можно исследовать резонансные свойства волновода. При l, отличных от собственных значений оператора A(l) и квадратов частот отсечки a²_n существует решение v интегрального уравнения (10), а следовательно и удовлетворяющее физическим условиям излучения решение задачи о возбуждении колебаний в волноводе. Это решения принадлежит L² при любой f только при l < a²₁, поэтому непрерывный (или, что в данном случае одно и то же, существенный) спектр волновода начинается с a²₁.

Согласно теореме 4 собственные значения оператора A(l) совпадают с собственными значениями волновода, а те в свою очередь в силу теоремы 3 с собственными значениями задачи:

м н о Du + lq(x,y) u = 0,     (x,y) О W,     l = k2 u О W  12(W).

(12)

Поэтому явление резонанса имеет место лишь при тех l, которые совпадают с собственными значениями e этой задачи или с квадратами частот отсечки a²_n, в полной аналогией со случаем локально нерегулярного полого волновода, разобранным в [7], или со случаем волновода с гладким заполнением, разобранным в [18].

При этом следует различать изолированные и вложенные в непрерывный спектр собственные значения волновода: для первых разработаны такие принципы как принцип Рэлея и теория возмущений Реллиха-Като, для вторых не создано почти ничего. Для того, чтобы придать понятию существенного спектра волновода строгий смысл, используя теорему Рисса, перепишем (12) в операторном виде

u=lAu,

где ограниченный оператор A задан билинейной формой

(v,Au) W  12(W)= у х W  uv q(x,y) dxdy.

(13)

Ясно, что именно к оператору A применим принцип Рэлея, а возмущению q отвечает компактное возмущение A, к которому применима теория Реллиха-Като. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 3 Существенный спектр оператора

A О L (W  12(W), W  12(W)),

заданного билинейной формой (13), называется существенным спектром волновода. Собственное значение волновода называется вложенным, если оно лежит в существенном спектре оператора A.

Замечание 4 В теории локально нерегулярных полых волноводов со времен работы Джонса [21] принято несколько иное определение, именно, существенным спектром волновода называют существенный спектр неограниченного оператора -D в L²(W). К сожалению, если рассматривать и задачу (12) в L²(W), то потребуется рассматривать спектр пучка D+ lq, что весьма неудобно. В довершении следует отметить, что в случае q є 1 существенный спектр волновода и по данному выше определению и по определению Джонса заполняет весь луч [a²₁, +Ґ).

Так как существенный спектр полого волновода, то есть оператора B, заданного билинейной формой

(v, B u)W  12(W) = у х W  uv  dx dy

есть

sess(B)=[a21, + Ґ)

и разность V = A - B, заданная билинейной формой

(v,Vu)W  12(W)= у х W  uv  (q(x,y)-1)dxdy.

компактна, поскольку [q\tilde]=q-1 имеет компактный носитель, то по теореме Вейля [30] (см. также [25])

sess(A)=sess(B)=[a21, + Ґ).

Таким образом существенный спектр волновода - это всегда [a²₁, + Ґ), а собственное значение волновода погружено в существенный спектр, если оно больше a²₁. Поэтому существенный и непрерывный спектр волновода обычно не различают.

Обратимся теперь к вопросу о существовании собственных значений волновода, поскольку оно вовсе не очевидно, поскольку, например, полый волновод ими не обладает. В [23] было показано, что когда q(x,y) і 1 существует хотя бы одно изолированное собственное значение. Однако пока еще не было доказано, что существуют вложенные собственные значения, то есть большие a²₁, на что особо обращено внимание в [7]. Поэтому обратимся к тому случаю, когда вложенные собственные значения у волновода заведомо существуют.

2.2  Заполнение типа вставки.

Определение 4 Говорят, что заполнение волновода есть заполнение типа вставки, если q(x,y) є q(x).

Будем искать классическое решение задачи (12), то есть дважды непрерывно дифференцируемое вне разрывов функции q(x) решение задачи

м н о Du + lq(x) u = 0,     (x,y) О W,     l = k2 u О W  12(W).

(14)

удовлетворяющее вдоль разрывов условиям сопряжения

[u] = й л  ¶u ¶x щ ы =0 .

(15)

В силу полноты системы функций { y_n(y) } решение (14) всегда можно представить в виде

u(x,y; l) = +Ґ е n=1  un (x; l) yn(y),

причем u_n (x; l) О L² ( R¹ ) ЗC¹( R¹). Тогда из (14), получим

un ўў = ( a2n - lq )un.

(16)

С другой стороны, функция

un ( x,y; l ) = un (x; l)yn(y),

где u_n (x) удовлетворяет уравнению (16) и принадлежит L²( R¹ ) ЗC¹(R¹), уже есть решение задачи (14). Поэтому все собственные функции задачи (14) исчерпываются следующим набором функций:

un ( x,y; l ) = un ( x; l )yn(y),     n = 1, 2, ...

где u_n ( x; l ) удовлетворяют задаче (16) .

Заметим, что вне неоднородности собственные функции u_n (x, l) имеют вид

C1 sin( Ц   l-an2   x) + C2 cos( Ц   l-an2   x),

где C₁ и C₂ - некоторые константы, и поэтому можно удовлетворить условию принадлежности решения задачи L²(R¹), только если a²_n - l > 0, следовательно, решения задачи (16) существуют только при l < a²_n.

Это обстоятельство особенно важно в виду того, что непрерывный спектр задачи (16) начинается только с a²_n . В самом деле в пространстве W ¹₂ (R¹) эта задача имеет вид

u=lAu = l(B+V)u,

где ограниченные операторы A, B и V заданы билинейными формами

(v,Au)W 12= +Ґ у х -Ґ  uv q(x) dx,   (v, B u)W 12 = +Ґ у х -Ґ  uv d x

и

(v,Vu)W 12= +Ґ у х -Ґ  uv (q(x)-1)dx.

Так как [q\tilde]=q-1 имеет компактный носитель, то оператор V - компактный. Значит по теореме Г. Вейля [30] (см. также [25]) существенный спектр операторов A и B совпадают. Но существенный спектр задачи

u=lBu     или     u’’+(l-a2n)u=0

имеет вид s_ess = [ a²_n,   +Ґ) [28], поэтому, как и утверждалось выше, существенный спектр задачи (16) начинается с a²_n.

Теперь ясно, что все собственные значения задачи (16) лежат ниже существенного спектра и следовательно, для их расчета можно применять принцип Релея [25]. Поэтому в частности если положить maxq(x) = Q для первого собственного значения получим оценку

en(1) = inf  ||uў||2L2 + a2n||u||2L2 (qu,u)L2 і  a2n Q .

Таким образом, все собственные значения задачи (16) лежат на отрезке

(  a2n Q , a2n)

и являются изолированными собственными значениями этой задачи, но при достаточно больших n они являются собственными значениями задачи (14), погруженными в непрерывный спектр задачи (14).

При q і 1 у задачи (16) имеется по крайней мере одно собственное значение. В самом деле, положим [(l)\tilde] = l-a²_n, тогда имеем

-un’’ - a2n ~ q   un = ~ l   q un.

(17)

Известно (теорема XIII.6 из [25]), что непрерывный спектр оператора - [(d²)/(dx²)] - a²_n [q\tilde] совпадает с l О [0, +Ґ) или l О [a²_n, +Ґ), а при [(l)\tilde] < 0, то есть при l < a²_n, непременно имеется по крайней мере одно собственное значение. Оно может быть определено при помощи принципа Релея

~ l   = inf ||uў||2L2 + a2n( ~ q   u, u)L2 ||u||2L2 < 0.

Но если q і 1, то и

inf ||uў||2L2 + a2n( ~ q   u, u)L2 (qu,u)L2 Ј ~ l   < 0,

откуда

inf  ||uў||2L2 + a2n(q u, u)L2 (qu,u)L2 < a2n.

Но так как существенный спектра задачи (16) лежит выше a²_n, это означает, что у задачи (16) существует собственное значение, что и утверждалось выше.

Подытоживая все сказанное, можно утверждать следующее:

Теорема 5 Все собственные значения волновода с заполнением типа вставки можно найти как собственные значения задач (16) при n = 1,2, .... Если Q і q(x) і 1, то при каждом n найдется хотя бы одно собственное значение e⁽¹⁾_n задачи (16), лежащее на интервале ([(a²_n)/Q], a²_n), и все другие собственные значения этой задачи лежат на том же интервале.

Замечание 5 На существование собственных значений у волновода с кусочно-постоянным заполнением типа вставки было указано в [18]. На то, что из теоремы XIII.6 из [25] следует существование бесконечной последовательности собственных значений у задачи (14) было указано в [32]. Впрочем, уравнение (16) можно свести к уравнению Шредингера при помощи преобразования Лиувиля [28], что дает еще один способ исследования его спектральных свойств; на это было указано в неопубликованной пока статье А.А. Арсеньева "Резонансное рассеяние в волноводе с заполнением".

Эта теорема означает, что у волновода с заполнением типа вставки с q і 1 имеется бесконечно много собственных значений, и следовательно большинство из них лежит выше a²₁, то есть вложено в непрерывный спектр. Однако вложение это лишь формальное, поскольку они являются изолированными собственными значениями задач (16).

2.2.1  Заполнение типа ''простой вставки''.

Для двух случаев, когда вставлена соответственно одна или две пластины, удается найти трансцендентные уравнения, которым удовлетворяют собственные значения, и исследовать поведение собственных значений как функций параметров вставки. В первом случае будем называть заполнение ''простой вставкой'', а во втором - ''коленом''.

Обратимся к простейшему случаю, когда

W = { x О R1,     y О [0,   +p] },

и

q( x ) = м п н п о q,    x О ( - 1, + 1 ) 1 .

В этом случае собственные значения задачи Дирихле на сечении равны a_n² = n², a собственная функция задачи (16) имеет вид

un ( x ) = м п п н п п о C1  eЦ{n2 - l} x,     x < - 1 C3  sin[ Ц{lq - n2} x ] + C4  cos[ Ц{lq - n2} x ],     - 1 < x < 1 C2  e - Ц{n2 - l} x,     x > 1

Положим

g = Ц   n2 - l   ,     gў = Ц   lq - n2   ,

тогда условия сопряжения (15) приводят к системе из четырех однородных линейных уравнений для определения констант C₁, ... C₄:

м п п п н п п п о C1 e-g = C3 sin(-gў)+C4 cos(-gў) gC1 e-g = gў(C3 cos(-gў) - C4 sin(-gў)) C2 e-g = C3 singў + C4 cosgў -gC2 e-g = gў( C3 cosgў - C4 singў)

(18)

или

м п н п о g( -C3 singў+C4 cosgў) = gў(C3 cosgў + C4 singў) g(C3 singў + C4 cosgў) = - gў( C3 cosgў - C4 singў)

или

м п н п о -C3 (gsingў + gўcosgў)+C4 (gcosgў - gўsingў) = 0 C3 (gsingў + gўcosgў)+C4 (gcosgў - gўsingў) = 0

или

м п н п о C3 (gsingў + gўcosgў) = 0 C4 (gcosgў - gўsingў) = 0

(19)

Эти уравнения разрешимы тогда и только тогда, когда l удовлетворяет одному из двух соотношений:

Ц   n2 - l   cos й л Ц   lq - n2   щ ы = Ц   lq - n2   sin й л Ц   lq - n2   щ ы

(20)

или

Ц   an2 - l   sin й л Ц   lq - an2   щ ы = - Ц   lq - an2   cos й л Ц   lq - an2   щ ы .

(21)

Если собственное значение l удовлетворяет первому соотношению, то уравнения (19) ведут к тому, что C₃ = 0, а исходная система тогда дает C₁ = C₂ , поэтому ему отвечает четная собственная функция. Аналогично, если l удовлетворяет второму соотношению, то ему отвечает нечетная собственная функция.

Эти уравнения позволяют вычислить все собственные значения задачи (14), меньшие некоторой заданной константы, при любом заданном значение q. Обозначим собственные частоты (корни из собственных значений) как k_m(q), перенумеровав их в порядке возрастания. Вычисления показывают, что число собственных значений задачи (14) между частотами отсечек ( n - 1 )² и n² быстро растет с ростом n или q и что у задачи (14) могут иметься кратные собственные значения.

Отметим, наконец, что уравнение (20) имеет решение e⁽¹⁾_n(q) при всех q > 1, которое непрерывно зависит от q и для которого

lim q = +1  e(1)n(q) = n2.

Значит, при достаточно малых q-1 > 0 и n > 1 это собственное лежит выше границы непрерывного спектра a₁²=1. Ему отвечает четная по x собственная функция вида:

un (x,y) = sinny м п п н п п о C1  eЦ{n2 - l} x,     x < - 1 cos[ Ц{lq - n2} x ],     - 1 < x < 1 C2  e - Ц{n2 - l} x,     x > 1 ,

которая, следовательно, всегда имеется у волновода с заполнением типа простой вставки, что вполне согласуется с предыдущей теоремой.

2.2.2  Заполнение типа ''колена''.

В заключении хотелось бы отметить, что все результаты последних двух пунктов прямо переносятся на трехмерный случай, если всюду заменить n² на частоты отсечки a_n² .

2.3  Поведение вложенных собственных значений волновода при малом возмущении.

Хотя к настоящему моменту известны и другие примеры таких волноведущих систем ( [21],[10],[33],[9]), необходимые условия появления вложенных мод остаются неясными. Поэтому, как отмечалось выше, целесообразно изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или уходят в комплексные резонансные точки.

Теорема 5 гарантирует, что при достаточно малых q₀(x)-1 уже собственное значение e⁽¹⁾₂ задачи (1) c q(x,y) є q₀(x) лежит выше a²₁. Поэтому волновод обладает собственной функцией вида

u0(x,y)=u2(x) y2(y),

отвечающей собственному значению волновода e₀ = e⁽¹⁾₂, вложенному в непрерывный спектр. Выясним теперь, сохраниться ли оно, если мы возмутим это заполнение

q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y),

где q₁ - вещественная функция, а e характеризует малость возмущения.

К сожалению, для вложенных собственных значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в [15]-[16], требуется построить резольвенту невозмущенной задачи, поскольку в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу на собственные значения к виду

v - A(l) v = 0,

(22)

где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма.

Однако при доказательстве существования решения задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже была сведена к виду (10), весьма схожему с (22) . Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться этими результатами.

В силу теоремы 4 точка e₀ главного листа римановой поверхности f является однократным собственным значением оператора A(l, e) = - l(q₀-1 + eq₁) R₀(l) при e = 0. В окрестности точки (l = e₀, e = 0) этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых e у этого оператора имеется единственное собственное значение

e(e) = e0 + e1 e+ ... = P(e),

для которого lim_{e = 0} e(e)=e₀, и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в равномерно по норме L²(Wў) сходящийся ряд

v(e) = v0 + v1 e+ ... = P(e).

Обоснование этого утверждения дано в приложении к [14].

Замечание 6 Здесь и далее как это принято в вейерштрассовской теории функций произвольный ряд по целым положительным степеням e будем обозначать как P(e) [34], [35].

Поскольку точка l = e₀ лежит на границе двух листов поверхности f, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0, в противном случае оно является комплексной резонансной точкой. Так как на главном листе все собственные значения вещественны, то Бe(e) = 0. Это равенство в частности означает, что e₁ - вещественное число, то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.

Теорема 6 В окрестности невозмущенного однократного собственного значения волновода e₀ существует единственная резонансная точка e(e), однако существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q₁(x,y) исходного заполнения q₀(x), что e(e) с ростом e становится комплексной резонансной точкой.

Доказательство. Выше мы уже доказали, что в окрестности невозмущенного однократного собственного значения волновода e₀ существует единственная резонансная точка e(e). Предположим вопреки утверждаемому в теореме, что при любом кусочно-непрерывном возмущении q₁(x,y) эта резонансная точка является собственным значением волновода, то есть что e(e) - вещественная.

В силу теорем 2 и 3 собственному значению e(e) соответствует собственная функция

u(x,y;e) = R0(e(e)) v(x,y;e) О L2(W).

Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки l = e₀ резольвенту R₀(l) можно представить в виде суммы оператора

B =  i 2 g1 (l) Ґ у х -Ґ  dxei g1 (l) |x-x| (y1,   .  )L2(S) y1 (y)

и R₀¹(l) О L(L²(Wў), W  ¹₂(W)), регулярного в окрестности l = e₀. По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член

R01(e(e)) = P(e) О L(L2(Wў), W  12(W)).

Относительно первого заметим, что поскольку u(e) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению, лежащему на главном листе, то

(u, y1)L2(S) = 0     "x not О Wў.

Поэтому если h(x) - C^Ґ₀-ступенька, равная 1 на всем Wў, то

h(x)B(e(e))v(e) = B(e(e))v(e)

Но h(x)B(l) - интегральный оператор, ограниченный по норме W¹₂, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e₀, поэтому и h(x)B(e(e))v(e) = P(e). Значит, собственная функция u(e) может быть разложена в ряд по степеням e, сходящийся равномерно по норме W¹₂.

Умножив (1) на y₁(y) и проинтегрировав по всему сечению S, получим

d2 dx2 у х S  dy u(x,y) y1(y) + e у х S  dy  q(x,y) u(x,y) y1(y) = a21 у х S  dy u(x,y) y1(y) .

Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом порядке теории возмущений, обозначив

у х S  dy u(x,y)1 y1(y) = u1,1(x),

получим

d2 u1,1 dx2 + [e0 q0(x) - a21 ] u1,1 = e0 u2(x) у х S  dy  q1(x,y) y1(y)y2(y).

В силу ограниченности носителя возмущенного заполнения q(x,y)-1 это уравнение имеет решение, принадлежащее пространству L²(R¹), лишь при весьма специальных условиях на q₁(x,y). Но с другой стороны, для того чтобы u(x,y;e) принадлежало L²(W), необходимо, чтобы u_1,1(x) принадлежала L²( R¹). Значит, мы пришли к противоречию.

Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные собственные значения волновода превращаются в общем случае в комплексные резонансные точки. Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных значений, поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като. Это свойство довольно необычно, поскольку более привычно когда собственное значение становится комплексной резонансной точкой лишь при возмущении q₀ комплексной добавкой, то есть при введении затухания.

К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких к q₀(x), нельзя, поскольку при построенном q₁ исчезает лишь одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось могут выходить комплексные резонансные точки. Оба эти возражения могли бы быть легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные примеры пока мало что проясняют относительно устройства точечного спектра волновода.

2.4  Пример возмущения заполнения волновода, при котором исчезают погруженные в непрерывный спектр собственные значения волновода.

Выше в разделе 2.3 было показано, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения неустойчивы к малым возмущениям заполнения волновода. Предъявим теперь конструктивно одно такое возмущение.

В плоском волноводе W = { x О R¹,     y О [0,   +p] } задача на собственные значения (12) примет вид:

м п п н п п о Du + e q(x,y) u = 0     (x,y) О W, u |¶W = 0, u О W  12(W).

(23)

Для простоты будем считать, что

Supp [q(x,y)-1] М W’ = { x О [-1,1],     y О [0,   +p] }.

В данном случае, собственные значения задачи Дирихле a_n² на сечении S равны n², где n = 1,2, ..., а соответствующие им собственные функции y_n = sinn y. Поэтому нижняя граница непрерывного спектра задачи (23) есть a²₁=1.

Возьмем за невозмущенное заполнение - заполнение типа простой вставки:

q0( x ) = м п н п о q0,    x О ( - 1, + 1 ) 1

В разделе 2.2 было показано, что при достаточно малых положительных q₀-1 существует вложенное собственное значение e₀ є e₂⁽¹⁾ > a²₁ задачи (23) с q(x,y)=q₀(x), которому отвечает четная по x собственная функция вида

u0(x,y) = u2(x) sin2y,

где u₂(x)=cosg’ x, а g’ = Ц{a²₂- e₀ q₀}.

В разделе 2.3 было показано, что вложенное в непрерывный спектр собственное значение волновода сохраняется не при всех возможных вещественных возмущениях

q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y),

где q₁ - вещественная функция, e характеризует малость возмущения, а лишь при тех, при которых задача

d2 w dx2 + [e0 q0(x) - a21 ] w = e0 u2(x) у х S  dy  q1(x,y) y1(y)y2(y)

(24)

имеет решение из L²(R¹).

Предположим, что при данном q₁ такое w существует, и найдем соотношения, которым должно удовлетворять q₁. Заметим, что вне W’ функция w удовлетворяет однородному уравнению

d2 w dx2 + [e0 - a21 ] w = 0

и следовательно имеет вид

w = C1 sin( Ц   e0 - a21   x)+C2 cos( Ц   e0 - a21   x).

В силу того, что w О L²(R), это означает, что при x not О [-1,1] функция w(x) тождественно равна нулю. Поскольку даже обобщенное решение (24) непрерывно дифференцируемо, то для w имеем переопределенную задачу:

м п п н п п о  d2 w dx2 + g2 w = f(x) w|x=±1 =  dw dx к к x=±1  =0,

(25)

где g² = e₀ q₀ - a²₁ - данное число, а

f(x) = e0 u2(x) у х S  dy  q1(x,y) y1(y)y2(y).

При помощи функции Грина задачу

м п н п о  d2 w dx2 + g2 w = f(x) u|x=±1=0

можно решить однозначно. В самом деле, положим

v1 = sin(g(x-1)),     v2 = sin(g(x+1))

тогда

w W[v1,v2] = v1(x) x у х -1  v2(y) f(y) dy+ v2(x) 1 у х x  v1(y) f(y) dy,

где W[v₁,v₂] = Const - определитель Вронского. Для того, чтобы w удовлетворяло (25) необходимо еще выполнение двух условий:

w’|x=1 = v1’(1) 1 у х -1  v2(y) f(y) dy = 0

и

w’|x=-1 = v2’(-1) 1 у х -1  v1(y) f(y) dy = 0.

Поскольку v₁’(1) = gnot = 0 и v₂’(-1) = gnot = 0, функция f, при которой существует решение задачи (25) должна удовлетворять условиям:

1 у х -1  sing(x ±1) f(x) dx = 0.

(26)

Предъявим теперь q₁, не удовлетворяющую этим условиям. Именно, возьмем

q1(x,y) =  y2(y) y1(y) Q(x)

в W’, где Q(x) - пока неопределенная кусочно-непрерывная функция. В этом случае функция q₁(x,y) - кусочно-непрерывная в области W и на ее границе, поскольку, например, при y=0 неопределенность

y2 y1 =  sin2 y siny

можно раскрыть по правилу Лопиталя:

lim y = 0   sin2 y siny = 2.

При такой q₁ функция f имеет вид

f = e0 u2 (x) Q(x).

Вспомнив, что u₂(x) = cosg’ x, из (26) получим

1 у х -1  sing(x ±1) cosg’ xQ(x) dx = 0.

Одно их этих равенств не выполняется, например, при

Q(x) = sing(x ±1) cosg’ x.

Итак, возмущение вида

q1(x,y) =  y2 y1 sing(x ±1) cosg’ x

приводит к уходу рассматриваемого собственного значения в комплексную область.

Доказанное позволяет проиллюстрировать неустойчивость вложенных собственных значений задачи (23) к малым вещественным возмущениям заполнения.

Проведенное исследование указывает, что резонансное множество волновода неустойчиво к малым возмущениям заполнения. Это означает, что структура резонансного множества в общем случае сложнее, чем в многочисленных примерах волноведущих систем, обладающих вложенными собственными значениями. При этом обнаружено интересное явление - исчезновение резонансных частот при вещественных (а не только комплексных) возмущениях заполнения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 02-01-00271, 00-01-00111) и программы "Университеты России" (код УP.03.02.010).

Литература.

[1]

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов. // ЖТФ. 17 (1947), № 11, c. 1283-1296.

[2]

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О представлении поля в волноводе в виде суммы полей TE и TM. // ЖТФ. 18 (1948), c. 959-963.

[3]

Тихонов А.Н., Самарский А.А. О возбуждении радиоволноводов II. // ЖТФ. 17 (1947), № 12, c. 1431-1440.

[4]

Свешников А.Г. Принцип излучения. // Докл. АН СССР. 73 (1950), № 3, c. 917-920.

[5]

Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода. // Докл. АН СССР. 80 (1951), № 3, c. 345-347.

[6]

Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1993.

[7]

Werner P. Resonanzphänomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. Angew. Math. Mech. 67 (1987), № 4, p. 43-54.

[8]

Rellich F. Das Eigenwertproblem von Du + lu = 0 in Halbröhren. // Studies and essays presented to R. Courant. N-Y., 1948, p. 329-344.

[9]

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 6. C. 69-70.

[10]

Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.

[11]

Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 5. C. 23-25.

[12]

Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спектр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 1. C. 61-62.

[13]

Малых М.Д. Поведение вложенных собственных значений уравнения Гельмгольца при малых возмущениях. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002, № 3.

[14]

Боголюбов А.Н., Малых М.Д. Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода. // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал http://jre.cplire.ru). 2002, № 2.

[15]

Howland J.S. Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue. // Pacific J. Math. 55 (1974), № 1, p. 157-176.

[16]

Howland J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula. // Arch. Rational Mech. Anal. 39 (1970), p. 323-339.

[17]

Goldstein C.I. The singularities of the S-matrix and Green's function associated with perturbation of -D acting in a cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1973), p. 1303-1307.

[18]

Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.

[19]

Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Räumen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.

[20]

Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

[21]

Jones D.S. The eigenvalues of С² u + lu when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954), p. 668-684.

[22]

Evans D. V., Levitin M., Vassiliev D. Existence theorems for trapped modes. // J. Fluid Mech., 261 (1994), p. 21-31.

[23]

Делицын А.Л. О задаче рассеяния в нерегулярном волноводе. // Ж. вычислит. мат. и мат. физики, 40 (2000), с. 577-581.

[24]

Albeverio S., Hoegh-Korn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics. // J. Math. An. Appl. 101 (1984), p. 491-513.

[25]

Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T.4. М.: Мир, 1982.

[26]

Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.

[27]

Heuser H. Funktionalanalysis. Stuttgart: B.G. Teubner, 1975.

[28]

Hellwig G. Differentialoperatoren der mathematischen Physik. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer, 1964.

[29]

Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов. Гл. I. // Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985. C. 305-320.

[30]

Weyl H. Über beschränkte quadratische Formen, deren Differenz vollstetig ist. // Rend. Circ. Matem. Palermo. 27 (1909), p. 373-392.

[31]

Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.

[32]

Делицын А.Л. Спектральные свойства задачи о нерегулярном волноводе. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001, № 3. C. 75-76.

[33]

Evans P., Porter R. Trapped modes embedded in the continuous spectrum. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 263-274.

[34]

Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 4. Vorlesungen über die Theorie der Abelschen Transcendenten. Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch. Berlin: Mayer&Müller, 1902.

[35]

Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.

оглавление

дискуссия