Спектрально-аналитические методы исследования отдельных классов неавтономных модельных систем с периодической матрицей

Аннотация

Представленная работа посвящена развитию известных математических методов, а также разработке новых спектрально-аналитических методов и конструктивных алгоритмов, необходимых при анализе различных теоретических линейных и квазилинейных динамических моделей, реализуемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической, полиномиальной и полиномиально периодической матрицей. Такие модели имеют большое значение при изучении ряда реальных физических явлений и процессов. Основное внимание в работе уделено рассмотрению спектрального варианта метода усреднения при анализе неавтономных систем дифференциальных уравнений с периодической матрицей, описывающих регулярно возмущенные системы. В статье также приведены некоторые результаты использования указанных методов для исследования отдельных реальных физических явлений, представляющих несомненный практический интерес. В частности проанализировано взаимодействие двух связанных линейных осцилляторов в отсутствие резонансных явлений.

• неавтономные системы
• non-autonomous systems
• уравнение Матье
• параметрический резонанс
• спектральный метод
• дифференциальные уравнения с периодической матрицей
• исследование устойчивости
• линейный осциллятор

Abstract (in English)

The presented work is devoted to the development of known mathematical methods, and also working out of new spectral analytical methods and constructive algorithms necessary at the analysis of various theoretical linear and quasi-linear dynamic models, realized in the form of systems of ordinary differential equations with periodic, polynomial and polynomially periodic matrix. Such models are of great importance at studying of some real physical phenomena and processes. The basic attention in work is given to consideration of a spectral variant of the averaging method at the analysis of non-autonomous systems of differential equations with the periodic matrix, describing regularly perturbed systems. Some results of use of the specified methods for research of the specific real physical phenomena representing doubtless practical interest also are resulted in the paper. In particular the interaction of two coupled linear oscillator in the absence of resonance phenomena is analyzed.

Для цитирования

Литература

1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. - М.: Наука, 1972.
2. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1958.
3. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. - M.: Физматгиз, 1959.
5. Горелик Г.С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. 2-е изд. - М.: Физматлит, 1959.
6. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Колебания и волны. - М.: Физфак МГУ, 2001.
7. Абаренков И.В., Загуляев С.Н. Простейшие модели в квантовой механике. - СПб.: Издат. С.-Петерб. ун-та, 2004.
8. Николаи Е.Л. Теория гироскопов. - Л., М.: ОГИЗ. Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, 1948.
9. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. - М.: Наука, 1976.
10. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов. - М.: Физматлит, 2009.
11. Коняев Ю.А. Асимптотические и аналитические методы решения некоторых классов прикладных модельных задач. - М.: Изд-во РУДН, 2005.
12. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. - М.: Наука, 1971.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. - М.: Мир, Т. 4, 1982.
14. Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. - Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 2000/01.
15. Волосов В.М., Моргунов Б.К. Метод усреднения в теории нелинейных колебательных систем. - М.: МГУ, 1971.
16. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле // Прикладная математика и механика. 1987. Т.51. №3. С. 375-381.
17. Коняев Ю.А., Безяев В.И., Филиппова О.Н. Асимптотический анализ регулярно и сингулярно возмущенных задач и их приложения в биологии // «Современная математика. Фундаментальные направления». 2010. Т. 37. С. 16-28.
18. Нгуен Вьет Хоа. Спектральной вариант метода усреднения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической матрицей // Тез. докл. Всероссийской конф. с междунар. участием «Информационно - телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». - М.: РУДН. 2012. С. 356-358.
19. Егоров А.А. Систематика, принцип работы и области применения датчиков // Журнал Радиоэлектроники. 2009. № 3. http://jre.cplire.ru/jre/mar09/3/text.pdf
20. Егоров А.А. Исследование бифуркационных процессов в многомодовом оптическом волноводе со статистическими нерегулярностями // Квантовая Электроника. 2011. Т. 41. № 10. С. 911-916.
21. Egorov A.A. Introduction to the analysis of the bifurcation phenomena in an optical waveguide with statistic irregularities // Журнал Радиоэлектроники. 2013. N. 9. http://jre.cplire.ru/jre/sep13/13/text.pdf
22. Егоров А.А. Основы теоретического анализа нерегулярных интегрально-оптических волноводов как нелинейных динамических диссипативных систем // Научная Сессия НИЯУ МИФИ-2013, г. Москва, 1 - 6 февраля 2013 г., Конференция «Методы математической физики и математическое моделирование физических процессов». - М.: НИЯУ МИФИ, 2013. Т. 3. С. 129.
23. Попонин В.С. Метод спектральных элементов на неструктурированной сетке в вычислительной механике. - Томск: Томский госуниверситет, 2009.
24. Санкин Ю.Н., Пирожков С.Л. Спектральные методы исследования электромеханических систем, включающих звенья с распределенными параметрами. - Ульяновск: УлГТУ, 2009.