ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН English Войти Подать статью
Журнал радиоэлектроники Электронный научный журнал · eISSN 1684-1719
2022, № 10 · МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Исследование асимптотической последовательности высот правильных симплексов при увеличении размерности евклидова пространства

А.Ю. Гришенцев1, А.Г. Коробейников2

1 Национальный исследовательский университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия
2 Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Пушкова РАН, Санкт-Петербург, Россия
Полный текст DOI: 10.30898/1684-1719.2022.10.10 УДК 519.725 EDN TQESVD

Аннотация

Проблема сферической упаковки и проблема распределения точек на сфере являются известными нерешёнными математическими проблемами. В частности, проблема распределения точек на сфере входит в известный список нерешённых математических проблем Стива Смейла. Соответственно, значительный интерес для исследования представляет как непосредственный поиск решения проблем, так и исследования в смежных с известными проблемами областях. В частности, проблема сферической плотной упаковки и упаковки покрытия имеет непосредственную связь с исследованием регулярных, нерегулярных и слоистых решёток, задачами помехоустойчивого кодирования, синтеза и анализа широкополосных сигналов, математическим исследованием многомерных пространств, кристаллографией, методами решения дифференциальных уравнений и вычисления n-мерных интегралов и многими другими частными задачами, и целыми областями знаний. В работе изложены результаты исследований некоторых свойств n-мерных правильных симплексов в евклидовом пространстве. Вектора, образующие n-мерный правильный симплекс задают фундаментальный базис гексагональной решётки. Предметом исследования являются некоторые свойства и закономерности векторного объекта, образующего правильный симплекс в n-мерном евклидовом пространстве, новизна результатов заключается в сформулированной и доказанной теореме, нескольких формулах позволяющих производить рекурсивные и не рекурсивные вычисления некоторых характеристик n-мерных правильных симплексов и сферических гексагональных упаковок. Объектом исследования является n-мерный правильный симплекс. Основные результаты - сформулирована и доказана теорема об асимптотическом характере последовательности высот правильных симплексов при увеличении размерности пространства, сформулированы следствия из теоремы и замечания, дополняющие теорему. В заключении статьи содержатся дополнения и численные примеры с комментариями для некоторых результатов исследований. Практическая значимость заключается в предлагаемом математическом инструментарии, способствующем развитию теории сферической упаковки и исследованию свойств геометрических объектов в n-мерном евклидовом пространстве.

  • n-мерный правильный симплекс
  • гексагональная решётка
  • сферическая упаковка
  • плотная упаковка
  • помехоустойчивое кодирование
  • системы автоматизированного проектирования
  • информационная безопасность
  • системный анализ
Abstract (in English)

Investigation of the asymptotic series of heights of regular simplices with increasing dimensionality of euclidean space

The problem of spherical packing and the problem of the distribution of points on a sphere are well-known unsolved mathematical problems. In particular, the problem of the distribution of points on a sphere is included in the well-known list of unsolved mathematical problems of Steve Smale. Accordingly, a significant interest for the study is both the direct search for solutions to problems and research in areas related to known problems. In particular, the problem of spherical dense packing and coating packing is directly related to the study of regular, irregular and layered lattices, problems of noise-resistant coding, synthesis and analysis of broadband signals, mathematical research of multidimensional spaces, crystallography, methods for solving differential equations and calculating n-dimensional integrals, and many other particular problems and entire fields of knowledge. The paper presents the results of studies of some properties of n-dimensional regular simplex in Euclidean space. The vectors forming the n-dimensional regular simplex define the fundamental basis of the hexagonal lattice. The subject of the study is some properties and regularities of a vector object forming a regular simplex in n-dimensional Euclidean space, the novelty of the results lies in a formulated and proven theorem, several formulas that allow recursive and non-recursive calculations of some characteristics of n-dimensional regular simplex and spherical hexagonal packages. The object of the study is an n-dimensional regular simplex. Main results a theorem on the asymptotic character of the sequence of heights of regular simplex with increasing dimension of space is formulated and proved, the consequences of the theorem and remarks supplementing the theorem are formulated. The conclusion of the article contains additions and numerical examples with comments for some research results. The practical significance lies in the proposed mathematical tools that contribute to the development of the theory of spherical packing and the study of the properties of geometric objects in n-dimensional Euclidean space.

Для цитирования

Гришенцев А.Ю., Коробейников А.Г. Исследование асимптотической последовательности высот правильных симплексов при увеличении размерности евклидова пространства // Журнал радиоэлектроники. – 2022. – № 10. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2022.10.10

Литература

  1. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. В 2-х томах. Т. 1. Пер. с англ. Москва, Мир. 1990. 415 с.
  2. Braucharta J.S., Grabnerb P.J. Distributing many points on spheres: minimal energy and designs. Journal of Complexity. 2015. V.31. №3. P.293-326 https://doi.org/10.1016/j.jco.2015.02.003
  3. Гришенцев А.Ю. Численное решение многомерной проблемы Томсона для упаковки векторов на гиперсфере в задачах широкополосной радиосвязи. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2019. Т.19. №4. С.730-739. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2019-19-4-730-739
  4. Smale S. Mathematical problems for the next century. Mathematical Intelligencer. 1998. V.20. №2. P.7-15. https://doi.org/10.1007/BF03025291
  5. Зюко А.Г., Фалько А.И., Панфилов И.П., Банкет В.Л., Иващенко П.В. Помехоустойчивость систем передачи информации. Москва, Радио и связь. 1985. 272 с.
  6. Ветчинкин Н.М. Упаковка равных и мерных шаров, построенные по кодам, исправляющим ошибки. Ученые записки Ивановского гос. университета. 1974. Т.89. С.87-91.
  7. Гришенцев А.Ю. Метод синтеза алфавитов ортогональных сигнальных широкополосных сообщений. Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2018. Т.18. №6. С.1074-1083. https://doi.org/10.17586/2226-1494-2018-18-6-1074-1083
  8. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. Москва, МЦНМО. 2005. 584 с.
  9. Малоземов В.Н., Тамасян Г.Ш. Два быстрых алгоритма проектирования точки на стандартный симплекс. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т.56. №5. С.742-755.
  10. Нардов В.В. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. Ленинград, изд-во Ленинградского университета. 1974. 143 с.
  11. Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия. Москва, КДУ. 2005. 592 с.
  12. Ткачук П.Н., Ткачук В.И., Букивский П.Н., Курик М.В. Метастабильный x-центр в монокристаллах теллурида кадмия. Физика твердого тела. 2004. Т.46. №5. С.804-810.
  13. Huffman W.C., Sloane N.J.A. Most primitive groups have messy invariants. Adv. in Math. 1979. №32. P.118-127.
  14. Рябухин Ю.М., Жугин М.А. Правильный симплекс произвольной размерности и его свойства. Вестник приднестровского университета. Серия: физ.-мат. и технические науки. 2020. Т.3. №66. С.53-58.
  15. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч. Часть I. 5-ое изд. Москва, Наука, Физматлит, 1998. 616 с.
  16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Москва, Айрис-Пресс. 2010. 608 с.
  17. Попов В.Л., Зархин Ю.Г. Кольца целых в числовых полях и решетки корней. Доклады российской академии наук. математика, информатика, процессы управления. 2020. Т.492. №1. С.58-61.
  18. Fejes Toth L. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und in Raum. Berlin, Springer. 1953. P.1-24.
  19. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. Москва, Наука. 1966. 649 с.