ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ. eISSN 1684-1719. 2025. №6

УДК: 621.3.01; 512.62

Исследование свойств преобразования

Фурье вейвлетов Эрмита-Гаусса

и применение полученных результатов

в задачах радиоэлектроники

А.Ю. Гришенцев ¹, Н.В. Коровкин ², А.Г. Коробейников ^1,3

¹Университет ИТМО,

197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр-кт, д. 49, лит. А.

²Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого,

195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая, д.29 литера Б.

³Санкт-Петербургский филиал Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн

им. Н.В. Пушкова Российской академии наук,

199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., д.5 литера Б.

Статья поступила в редакцию 16 марта 2025 г.

Аннотация. Вейвлеты Эрмита-Гаусса получают в результате произведения полиномов Эрмита на функцию Гаусса. Вейвлеты Эрмита-Гаусса образуют базис в пространстве вещественных чисел и поэтому позволяют производить декомпозицию функций удовлетворяющих условию Дирихле. Множество ортонормированных форм вейвлетов Эрмита-Гаусса являются собственными функциями преобразования Фурье, такая особенность определяет использование вейвлетов в широком спектре теоретических и практических инженерных задач. Анализ литературы показывает, что преобразованию Фурье различных форм вейвлетов Эрмита-Гаусса, их взаимному выражению через преобразование Фурье и связи с другими функциями имеющими вид произведения полиномов на функцию Гаусса, уделено недостаточное внимание. Поэтому, по мнению авторов, исследования являются актуальными. Предметом исследований является повышение эффективности преобразования Фурье многочленов некоторых видов на основе декомпозиции по базису вейвлетов Эрмита-Гаусса. В ходе исследований сформулировано и доказано пять взаимосвязанных теорем, образующих основу работы. Для формулировок и доказательства теорем используется два вида декомпозиции. Первый способ декомпозиции основан на обобщенном преобразовании Фурье по базису вейвлетов Эрмита-Гаусса. Второй способ декомпозиции многочленов основан на последовательном делении с остатком. Основным результатом работы является предложенный математический аппарат в виде сформулированных и доказанных теорем применимых для преобразования Фурье произвольных полиномов одной переменной, умноженных на функцию Гаусса, причем преобразование выполняется аналитически и без использования интеграла Фурье. По мнению авторов, полученный результат способствует развитию теории и практики обработки сигналов, в области радиоэлектроники, оптоэлектроники, электротехники и теории автоматического управления. В заключительной части работы изложены некоторые примеры использования разработанной теории и предложен метод синтеза откликов систем имеющих дробно-рациональную передаточную функцию и метод синтеза радиосигналов на основе вейвлетов Эрмита-Гаусса.

Ключевые слова: вейвлеты Эрмита-Гаусса, полиномы Эрмита, преобразование Фурье, собственные функции, передаточная функция, синтез сигналов.

Автор для переписки: Гришенцев Алексей Юрьевич, agrishentsev@yandex.ru

Литература

1. Hermite M. Sur un nouveau développement en série des fonctions. – Imprimerie de Gauthier-Villars, 1864.

2. Градштейн И.С., Рыжик И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108 с.

3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 800 с.

4. Суетин С.П. Полиномы Эрмита–Паде и квадратичные аппроксимации Шафера для многозначных аналитических функций // Успехи математических наук. – 2020. – Т. 75. – №. 4 (454). – С. 213-214. https://doi.org/10.4213/rm9954

5. Duran U. et al. A note on the (p, q)-Hermite polynomials // Appl. Math. Inf. Sci. – 2018. – V. 12. – №. 1. – P. 227-231. https://doi.org/10.18576/amis/120122

6. Шарапудинов И.И., Гаджиева З.Д., Гаджимирзаев Р.М. Разностные уравнения и полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера // Владикавказский математический журнал. – 2017. – Т. 19. – №. 2. – С. 58-72. https://doi.org/10.23671/VNC.2017.2.6509

7. Горлов В.А., Паршин Д.С. Разложение функции с экспоненциальным ростом в ряд Фурье по ортогональным полиномам Чебышева-Эрмита // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. – 2015. – Т. 3. – №. 8-3. – С. 245-248. https://doi.org/10.12737/15633

8. Доброхотов С.Ю., Цветкова А.В. О лагранжевых многообразиях, связанных с асимптотикой полиномов Эрмита // Математические заметки. – 2018. – Т. 104. – № 6. – С. 835-850. https://doi.org/10.4213/mzm12093

9. Ровба Е.А., Пищик К.В. Интерполяционный рациональный процесс Эрмита-Фейера на отрезке. Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. 2020. – Т. 10. – № 3. – С. 6-15.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 736 с.

11. Борзов В.В., Дамаскинский Е.В. Обобщенные когерентные состояния: Новый подход // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. – 2003. – Т. 300. – №. 8. – С. 65-71.

12. Кислинский В.С., Грахова Е.П., Абдрахманова Г.И. Применение вейвлетов и функций Эрмита для моделирования СШП импульсов под требования маски ГКРЧ // Инфокоммуникационные технологии. 2015. – Т. 13. – № 4. – С. 391-398. https://doi.org/10.18469/ikt.2015.13.4.05

13. Синицын И.Н. Методы моментов в задачах аналитического моделирования распределений в нелинейных стохастических системах на многообразиях // Системы и средства информатики. – 2015. – Т. 25. – № 3. – С. 24-43. https://doi.org/10.14357/08696527150302

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Второе издание. – М.: Наука, 1974. – 296 с.

15. Гришенцев А.Ю. Автокорреляционные и фрактальные свойства матриц линейного унитарного преобразования Фурье // Радиотехника. 2019. – № 1. – С. 5-14. https://doi.org/10.18127/j00338486-201901-01

16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс, 9-е изд. – М.: Айрис-пресс. 2010. – 608 с.

17. Зиборов С.Р. Синтез линейных радиотехнических цепей. – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2013. – 92 c.

18. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники, 4-е изд. Т. 1. – СПб: Питер, 2006. – 463 с.

Для цитирования:

Гришенцев А.Ю., Коровкин Н.В., Коробейников А.Г. Исследование свойств преобразования Фурье вейвлетов Эрмита-Гаусса и применение полученных результатов в задачах радиоэлектроники // Журнал радиоэлектроники. – 2025. – № 6. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2025.6.11