Особенности интерполяции спектрально-ограниченных сигналов

Аннотация

Для достижения целей экспериментального исследования сигнала часто необходимо знать его значения вне измеренных точек. Результаты интерполяции (ошибки интерполяции) зависят как от соответствия вида интерполяции сигналу, так и от расположения измеренных точек. В отличие от прочих методов, ошибки интерполяции рядом Фурье зависят не от расположения узлов интерполяции, а от спектра измеряемого сигнала. В данной работе рассматриваются особенности интерполяции спектрально-ограниченных сигналов. Экспериментальные данные предполагаются полученными в результате нескольких серий измерений с постоянным шагом, но с произвольным расположением начальной точки. Полученные результаты позволяют получать интерполированные значения, слабо зависящие от начальных точек измерений. В применении к обработке цифровых изображений это эквивалентно попытке увеличить пространственное разрешение при наличии нескольких исходных кадров невысокого качества. В нашей работе мы обратили особое внимание на проверку соответствия вида интерполяции (ряд Фурье) и свойств сигнала (спектральная ограниченность). Обычно рассмотрение спектрально ограниченных сигналов производится на основе ряда Котельникова без использования спектра сигнала. В данной работе вычисление спектра сигнала является важным отличием от других работ, позволяющим оценить реальное ограничение спектра измеренных данных (если таковое имеется). Это обеспечивает достоверность интерполяции рядом Фурье. Несмотря на то, что измеренные экспериментальные данные могут быть непериодическими, мы будем рассматривать их (в рамках ряда Фурье) как периодические с периодом равным времени измерения. В данной работе сравниваются результаты интерполяции рядами Котельникова, Фурье и кубическим сплайном. Показано определенное преимущество интерполяции ряда Фурье для периодического спектрально-ограниченного сигнала. Получены выражения для расчётов спектров экспериментально измеренных сигналов для нескольких серий измерений с постоянным шагом, но с произвольным расположением начальной точки.

• ряд Котельникова
• Kotelnikov series
• спектрально ограниченный сигнал
• интерполяция
• ряд Фурье

Abstract (in English)

To achieve the objectives of experimental signal research, it is often necessary to know its values outside the measured points. The interpolation results (interpolation errors) depend both on the correspondence of the type of interpolation to the signal, and on the location of the measured points. Unlike other methods, the Fourier series interpolation errors do not depend on the location of the interpolation nodes, but depend on the spectrum of the measured signal. In this paper, we consider the features of interpolation of spectrally-bounded signals. The experimental data are assumed to be obtained as a result of several series of measurements with a constant step, but with an arbitrary arrangement of the starting point. The obtained results make it possible to get interpolated values that depend weakly on the initial measurement points. As applied to digital image processing, this is equivalent to trying to increase spatial resolution in the presence of several low-quality source frames. In our work, we paid special attention to verifying the correspondence between the type of interpolation (Fourier series) and signal properties (spectral limitation). Usually, the analysis of spectrally limited signals is performed on the basis of the Kotel'nikov series without using the signal spectrum. In this paper, the computation of the signal spectrum is an important difference from other works, which makes it possible to estimate the real limitation of the spectrum of the measured data (if any). This ensures the reliability of interpolation by the Fourier series. In spite of the fact that the measured experimental data can be non-periodic, we shall consider them (within the Fourier series) as periodic with a period equal to the time of measurement. In this article we compare the results of interpolation by the Kotel'nikov and Fourier series and the cubic spline. A certain advantage of interpolation of the Fourier series for a periodic spectral-limited signal is shown. Expressions are obtained for calculating the spectra of experimentally measured signals for several series of measurements with a constant step, but with an arbitrary arrangement of the starting point.

Для цитирования

Литература

1. В.А.Зверев. Радиооптика. М. «Советское радио» - 1975. - С. 304
2. А.П. Аксенов. Математический анализ. (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «Нестор» - 1999. - С. 86
3. Я.И. Хургин, В.П. Яковлев Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы - 1962. - С. 220
4. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер Машинные методы математических вычислений. - М: Изд-во «Мир», 1980.- С.279
5. А. Г. Гранков, А. А. Мильшин, Е. П. Новичихин Поведение радиояркостной температуры системы «океан-атмосфера» в условиях активности среднеширотных и тропических циклонов. // Известия вузов, радиофизика, 2013, №10, С. 711-725.
6. С. П. Шарый. Курс вычислительных методов. Институт вычислительных технологий СО РАН. Новосибирск. 2016.
7. Е. В. Щерба. Анализ применимости методов интерполяции и экстраполяции для решения задачи восстановления изображения. // Компьютерная оптика, - 2009 - том 33. №3 - С. 336-339.
8. А. А. Афонский, Е. В. Суханов Интерполяция в цифровой осциллографии. // Контрольно-измерительные приборы и системы. №5, 2010. С. 13-16
9. В. А. Кокошкин, В. А. Коротков, К. В. Коротков, Е. П. Новичихин Об использовании простого способа оценки ошибки интерполяции экспериментальных данных. // Журнал Радиоэлектроники [электронный журнал], 2016, №9, URL: http://jre.cplire.ru/jre/sep16/5/text.pdf.