ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ. ISSN 1684-1719. 2020. № 8
Оглавление выпускаТекст статьи (pdf)
DOI https://doi.org/10.30898/1684-1719.2020.8.7
УДК 537.874; 537.624
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ИЗ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ В УСЛОВИЯХ КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ И КВАДРАТИЧНОЙ СВЯЗИ
А. П. Иванов 1, В. Г. Шавров 2, В. И. Щеглов 2
1 Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, 167001, Сыктывкар, Октябрьский пр-т, 55
2 Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН, 125009, Москва, ул. Моховая, 11-7
Статья поступила в редакцию 31 июля 2020 г.
Аннотация. Рассмотрены возбуждаемые внешней периодической силой автомодуляционные и хаотические колебания в системе из двух связанных осцилляторов. Предполагается, что один осциллятор содержит кубическую нелинейность, а связь между осцилляторами является квадратичной. Приведены два примера задач, приводящих к такой модели. Первая – задача о возбуждении мощного гиперзвука в ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Вторая – задача о возбуждении электромагнитных колебаний в ферритовом диске, помещенном в электродинамический резонатор. Для обеих задач приведены основные уравнения движения и показано, как обе полученные системы сводятся к одной и той же упрощенной системе уравнений для двух связанных осцилляторов. Результатом является система из двух укороченных уравнений колебательного типа, первое из которых соответствует магнитному осциллятору, а второе – упругому или электродинамическому. Показано, что первое уравнение такой системы содержит нелинейность третьей степени, а второе остается линейным. Связь между уравнениями в первом уравнении является квадратичной, а во втором – линейной. Рассмотрено поведение системы в широком интервале амплитуды возбуждения. Получены развертки колебаний по времени, параметрические портреты для переменной и ее производной, а также спектральные характеристики возбуждаемых колебаний. На примере среднего уровня возбуждения рассмотрено типичное многообразие колебаний. Параметрический портрет для первого осциллятора имеет вид сильно размазанной «горизонтальной восьмерки», а для второго – совокупности нескольких колец, наложенных друг на друга с относительно небольшим сдвигом. Рассмотрен спектральный состав возбуждаемых колебаний. Показано, что для первого осциллятора спектр как смещения осциллятора, так и его производной, имеет вид нескольких (двух-трех) широких сильно изрезанных полос с явно выраженным максимумом на середине полосы. Для второго осциллятора спектр колебаний имеет хорошо упорядоченный вид вблизи основной частоты возбуждения. Выполнена классификация основных режимов колебаний, наблюдаемых в широком диапазоне амплитуд возбуждения. Выявлены следующие два режима: режим №1 – мультигармонический регуляризированный; режим №2 – мультигармонический квазихаотический. Показано, что по мере увеличения амплитуды возбуждения, начиная с регулярного, имеет место чередование регулярного и квазихаотического режимов. Выполнена модельная имитация формирования параметрического портрета. Показано, что образование «горизонтальной восьмерки» параметрического портрета обусловлено наличием в спектре колебаний нечетных гармоник высоких порядков. Выполнено аналитическое рассмотрение свободных колебаний, описываемых уравнением, содержащим вторую производную в сочетании с переменной в третьей степени, отражающей кубическую нелинейность. Показано, что частота свободных колебаний такой системы пропорциональна их амплитуде, задаваемой начальным смещением. Рассмотрены области формирования хаотического режима при различных уровнях возбуждения для трех основных случаев: первый – отсутствие связи между осцилляторами, второй – наличие линейной связи и третий – наличие квадратичной связи. Показано, что в отсутствие связи области хаотического и регулярного режимов чередуются в почти правильном порядке. Увеличение уровня возбуждения приводит к постепенному росту номеров возбуждаемых гармоник. В случае линейной связи характер чередования областей того и другого режимов, в общем, сохраняется, однако наблюдается растяжение всей картины в сторону больших значений возбуждения. В случае квадратичной связи чередование областей различных режимов не наблюдается. Начиная с довольно низкого уровня возбуждения колебания приобретают хаотический характер и регуляризация далее не наступает. Выявлен критерий формирования хаотического режима. Показано, что главной причиной формирования хаоса является последовательная смена гармоник по мере увеличения возбуждения. Рассмотрена амплитуда колебаний при различном уровне возбуждения. Показано, что по мере увеличения уровня возбуждения амплитуда колебаний возрастает, причем рост амплитуды следует зависимости корневого типа. На примере уравнения для первого осциллятора в отсутствие связи показано, что причиной замедления роста амплитуды колебаний является кубическая нелинейность.
Ключевые слова: нелинейные колебания, связанные осцилляторы, кубическая нелинейность.
Abstract. The auto-modulation and chaotic vibrations in the system of two connected oscillators stimulated by external periodic force are investigated. It is supposed that one of oscillators has cubic nonlinearity and the connection between oscillators is quadratic. Two examples of tasks which lead to this model are described. The first is the task about excitation of power hypersound in ferrite plate having magnetoelastic properties. The second is the task about excitation of electromagnetic vibrations in ferrite disc placed in electro-dynamic resonator. For both tasks the main motion equations are described and it is shown that both systems came to the same simplified equations system for two connected oscillators. We found the system from two reduced equations vibration type. The first of these equations corresponds to magnetic oscillator and the second equation corresponds to elastic or electro-dynamic oscillator. It is shown that the first equation of this system contains the nonlinearity of third degree but the second remains linear. The connection between equations in the first equation is quadratic and in the second is linear. We investigated the behaviour of system in broad interval of excitation amplitude. We found the developments of vibrations in time, parametric portraits for variable quantity and its derivative and also the spectral characteristics of excited vibrations. On an example of middle level of excitation we investigated the typical variety of vibrations. The parametrical portrait for first oscillator has the appearance of very spread “horizontal figure-of-eight” and for second oscillator has the appearance of combination from several rings which are applied one to another with small displacement. The spectral composition of excited vibrations is investigated. It is shown that for the first oscillator the spectrum of both displacement and its derivative has the form of several (two or three) wide, very indented в stripes with a pronounced maximum in the middle of the stripe. For the second oscillator, the vibration spectrum has a well-ordered form near the main frequency of excitation. The classification of the main regimes of oscillations observed in a wide range of excitation amplitudes is performed. We found two main regimes: regime №1 – large-harmonic regular; regime №2 – large-harmonic quasi-chaotic. It is shown that as the amplitude of excitation increases, starting from the regular one, there is a rotation of the regular and chaotic regimes.
A model imitation of parametrical portrait formation is performed. It is shown that the formation of the “horizontal eight” of the parametric portrait is due to the presence of high-order odd harmonics in the oscillation spectrum. We carried out an analytical investigation of free oscillations, described by an equation containing the second derivative in combination with a variable in the third power, which describes cubic nonlinearity. It is shown that the frequency of free vibrations of this system is proportional to their amplitude specified by the initial displacement. The regions of the formation of a chaotic regime for various levels of excitation are considered for three main cases: the first is the absence of a connection between the oscillators, the second is the presence of a linear connection, and the third is the presence of a quadratic connection. It is shown that in the absence of connection, the regions of chaotic and regular regimes rotate in an almost correct order. An increase in the level of excitation leads to a gradual increase in the numbers of excited harmonics. In the case of a linear connection, the character of the rotation of the regions of both regimes, in general, doesn’t change, however, the whole picture is stretched towards higher values of excitation. In the case of a quadratic connection, the rotation is not observed. Starting from a rather low level of excitation, the oscillations become chaotic and regularization does not occur further. The criterion of chaotic regime forming s found. It is shown that the main reason of chaos formation is successive change of harmonics when the excitation level is increased. We investigated the amplitude of vibrations by different level of excitation. It is shown that as the level of excitation increases, the amplitude of the oscillations increases, and the increase in the amplitude follows the dependence of the root type. Using the equation for the first oscillator in the absence of coupling as an example, it is shown that the reason for the slowdown in the growth of the oscillation amplitude is cubic nonlinearity.
Key words: nonlinear vibrations, connected oscillators, cubic nonlinearity.
Литература
1. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит. 2003.
2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука. 1988.
3. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука-Физматлит. 2000.
4. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). М.: Физматлит. 2001.
5. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002.
6. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера. 2012.
7. Станкевич Н.В., Попова Е.С., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Широкополосные хаотические колебания в слабосвязанном ансамбле автоколебательных осцилляторов. // Письма в ЖТФ. 2019. Т.45. №24. С.17.
8. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. М.: Наука. 1971.
9. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны. М.: Наука. 1987.
10. Вейсс М. Сверхвысокочастотные и низкочастотные колебания, вызванные нестабильностью резонанса в ферритах. // В кн.: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Сборник статей по ред. А.Г.Гуревича. М.: ИЛ. 1961. С.281.
11. Щеглов В.И., Шавров В.Г., Зубков В.И., Власов В.С., Котов Л.Н. Автомодуляционный режим нелинейных вынужденных колебаний намагниченности феррита в резонаторе. // Сборник трудов XII Международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие». Москва-Фирсановка: Издание МЭИ. 2009. С.100.
12. Щеглов В.И. Стохастическая неустойчивость траекторий поверхностных магнитостатических волн в поле типа «вала» с пространственной модуляцией. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. №10. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/oct14/1/text.pdf.
13. Ле-Кроу Р., Комсток Р. Магнитоупругие взаимодействия в ферромагнитных диэлектриках. // В кн.: У. Мэзон (ред.): Физическая акустика. Т.3Б. Динамика решетки. М.: Мир. 1968. С.156.
14. Моносов Я.А., Сурин В.В., Щеглов В.И. Возбуждение резонансных упругих колебаний при нелинейном ферромагнитном резонансе. // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т.7. №9. С.315.
15. Зубков В.И., Моносов Я.А., Щеглов В.И. Спиновый эффект Мандельштама-Бриллюэна. // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т.13. №5. С.229.
16. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. // РЭ. 2009. Т.54. №7. С.863.
17. Власов В.С., Иванов А.П., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в системе двух связанных осцилляторов, один из которых является гиромагнитным. // Сборник трудов XX Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: НИУ МЭИ. 2012. С.248.
18. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ линейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №11. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.pdf.
19. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в нормально намагниченной ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. // Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: НИУ МЭИ. 2013. С.188.
20. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа работы магнитострикционного преобразователя. // Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: «НИУ МЭИ». 2013. С.199.
21. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ нелинейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов в квадратичном приближении. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. №1. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/11/text.pdf.
22. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ колебаний в ферритовой пластине с магнитоупругими свойствами на основе модели квадратичного приближения. // Материалы XXIII Всероссийской конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: ИНФРА-М. 2015. С.202.
23. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 1. Основные уравнения. // РЭ. 2015. Т.60. №1. С.79.
24. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 2. Некоторые нелинейные явления. // РЭ. 2015. Т.60. №3. С.297.
25. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных колебаний в магнитоупругой среде на основе модели связанных магнитного и упругого осцилляторов. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №5. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.pdf.
26. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных явлений в системе связанных магнитного и упругого осцилляторов на основе модели потенциала. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun15/9/text.pdf.
27. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 1. Динамический потенциал. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul17/6/text.pdf.
28. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 2. Линейная связь. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/5/text.pdf.
29. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 3. Нелинейная связь. // Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/6/text.pdf.
30. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Динамический потенциал как модель нестационарного запаздывания возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. // Сборник трудов XXVI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы (фундаментальные физические исследования)». М.: ИНФРА-М. 2018. С.243-253.
31. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа. 1974.
32. Никольский В.В, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука. 1989.
33. Гуревич А.Г. Ферриты на сверхвысоких частотах. М.: Гос. Изд. физ.-мат. лит. 1960.
34. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука. 1973.
35. Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит. 1994.
36. Gilbert T.L. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. // IEEE Trans. on Magn. 2004. Vol.40. No.6. P.3443-3449.
37. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.
38. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука. 1965.
39. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ. Гос. изд. техн.-теор. лит. 1945.
40. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука. 1965.
Для цитирования:
Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Вынужденные колебания в системе из двух связанных осцилляторов в условиях кубической нелинейности и квадратичной связи. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №8. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2020.8.7