ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ. ISSN 1684-1719. 2021. № 4
Оглавление выпускаТекст статьи (pdf)
DOI https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.4
УДК 537.874; 537.624
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ УСТАНОВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ.
ЧАСТЬ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ФОРМИРОВАНИЕ УПРОЩЕННОЙ СИСТЕМЫ
А. П. Иванов 1, В. Г. Шавров 2, В. И. Щеглов 2
1 Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, 167001, Сыктывкар, Октябрьский пр-т, 55
2 Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН, 125009, Москва, ул. Моховая, 11-7
Статья поступила в редакцию 9 марта 2021 г.
Аннотация. Рассмотрено явление нестационарного запаздывания возбуждения высокоамплитудных хаотических колебаний в системе из двух связанных осцилляторов, один из которых является нелинейным. Приведено краткое описание двух реальных физических систем, допускающих возбуждение хаотических колебаний, обладающих нестационарным запаздыванием. Первая система представляет собой нормально намагниченную ферритовую пластину, обладающую магнитоупругими свойствами. Вторая система представляет собой электродинамический волноводный резонатор с намагниченным по нормали ферритовым диском. При поступающей мощности выше определенного порога в обеих системах колебания приобретают хаотический характер. Показано, что колебания в обеих системах могут быть описаны на основе одной и той же модели двух связанных осцилляторов, один из которых является нелинейным, а второй – линейным. Для такой модели приведена система двух дифференциальных уравнений второго порядка, нелинейность в которых представлена в виде степенного ряда по двум переменным. Первое уравнение содержит слагаемые кубической нелинейности, линейной и нелинейной связи со вторым уравнением. Второе уравнение содержит слагаемое линейной связи с первым уравнением. Возбуждение колебаний осуществляется путем подачи на первый осциллятор внешней силы синусоидального характера. Показано, что в такой системе при достаточном уровне внешнего сигнала возникают высокоамплитудные хаотические колебания. Начало возбуждения таких колебаний происходит скачком по прошествии определенного времени запаздывания относительно начала воздействия возбуждающей силы. Ввиду сложности исходной системы, в качестве главной задачи настоящей работы поставлено выделение из полной системы максимально упрощенного ядра, сохраняющего свойства высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием. Такое выделение выполнено путем исключения второстепенных слагаемых обоих уравнений. В качестве первого шага упрощения рассмотрена возможность исключения внешнего возбуждения системы. При этом возбуждение колебаний осуществляется путем задания начального смещения или начальной скорости одного из осцилляторов. Для обеспечения незатухающих колебаний диссипативные слагаемые в обоих уравнениях положены равными нулю. Показано, что при надлежащем выборе начального смещения характер колебаний каждого из осцилляторов полностью подобен таковому для системы с внешним возбуждением. Выполнено сравнение зависимостей времени запаздывания от уровня внешнего возбуждения и начального смещения. Показано, что в обоих случаях зависимости, в основном, являются геометрически подобными и описываются законом обратной пропорциональности. Исследован характер колебаний системы по обе стороны от интервала реализации запаздывания. Установлено, что в обоих случаях, как внешнего возбуждения, так и начального смещения, характер колебаний по обе стороны от интервала реализации запаздывания остается одинаковым. В результате проделанного сравнения сделан промежуточный вывод об эквивалентности возбуждения колебаний системы из двух осцилляторов как внешним воздействием, так и заданием начального смещения. Отмечено, что причиной эквивалентности является тождество динамического потенциала в обоих случаях. С целью установления возможности дальнейшего упрощения системы связанных уравнений рассмотрена роль соотношения собственных частот того и другого осцилляторов. Показано, что возбуждение высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием при надлежащем уровне начального смещения реализуется в непрерывном диапазоне соотношений частот осцилляторов вплоть до пяти относительных единиц. Установлено, что зависимость порогового уровня начального смещения от отношения частоты второго осциллятора к частоте первого является непрерывной и имеет четко выраженный возрастающий квадратичный характер. Исследована зависимость времени запаздывания от начального смещения при различных соотношениях частот. Показано, что при любой величине такого соотношении время запаздывания при увеличении начального смещения, начиная с определенного критического значения, спадает по закону обратной пропорциональности. Критическое значение смещения по мере увеличения соотношения частот также увеличивается. С целью исследования возможности дальнейшего упрощения системы рассмотрена роль слагаемого первого уравнения, отражающего линейную связь первого осциллятора со вторым. Показано, что исключение линейной связи при малой кратности частот приводит к уменьшению критического значения смещения, а при большой сохраняет прежним. Во всех этих случаях высокоамплитудный хаос сохраняется, а его запаздывание может достигать весьма больших значений. С целью дальнейшего упрощения системы рассмотрена роль собственной частоты первого осциллятора. Рассмотрены зависимости времени запаздывания от начального смещения при равенстве нулю частоты первого осциллятора и различных значениях частоты второго осциллятора. Показано, что в этом случае критическое значение смещения уменьшается тем сильнее, чем частота второго осциллятора ниже. Во всех случаях при исключении слагаемого, соответствующего частоте первого осциллятора, общий характер высокоамплитудного хаоса и соответствующего запаздывания сохраняется. В ходе проверки установлено, что исключение других слагаемых из первого уравнения нарушает возможность реализации высокоамплитудного хаоса с запаздыванием. Исключение потенциального слагаемого из второго уравнения нарушает его колебательный характер, так что также не является допустимым. Таким образом, на данном этапе рассмотрения дальнейшее упрощение системы признано нецелесообразным. В результате проделанного рассмотрения, из исходной полной системы уравнений для двух осцилляторов выделено ядро, ответственное за возбуждение высокоамплитудного хаоса с соответствующим запаздыванием. Уравнение для смещения первого осциллятора содержит вторую производную по времени, слагаемые кубической нелинейности и нелинейной связи со вторым осциллятором. Уравнение для смещения второго осциллятора содержит вторую производную по времени, потенциальное слагаемое, соответствующее частоте второго осциллятора и слагаемое линейной связи второго осциллятора с первым. При этом возбуждение системы может быть осуществлено путем задания начального смещения или начальной скорости любого из осцилляторов.
Ключевые слова: нелинейные колебания, связанные осцилляторы, хаотические колебания.
Abstract. The effect of non-stationary delay excitation of large-amplitude chaotic vibrations in the system of two connected nonlinear and linear oscillators is investigated. The short description of two real physical systems which allow the excitation of chaotic vibrations having non-stationary delay is described. The first system consist of normal magnetized ferrite plate having magnetoelastic properties. The second system consist of electro-dynamic resonator with normal magnetized ferrite disc. When the input power exceeds the threshold level the vibrations in both systems acquire chaotic character. It is shown that the vibrations in both systems may be described on the basis of the same model consist of two connected oscillators. The first of these oscillators is nonlinear and the second is linear. For this model the system of two second order differential equations is proposed. The nonlinear properties in these equations are described by the expansion of power row by two variable quantities. The first equation contains the cube nonlinearity and linear and nonlinear connection with second equation. The second equation contains only linear connection with first equation. The excitation of vibrations is realized by the switching the external sinusoidal force on the first oscillator. It is shown that in this system by sufficient level of external signal it is excited the chaotic vibrations having large amplitude. The beginning of this vibrations excitation is occurred by jump after the some delay time after the beginning of excitation force action. By the reason of very high complexity of initial system the main task of this paper is the signing out of whole system the maximum simplify core which preserves the properties of high-amplitude chaotic vibrations with corresponding delay time. This signing is carried out by exclusion of secondary components of both equations. As the first step of simplification it is investigated the possibility of exclusion of external excitation of system. In this case the excitation of vibrations is realized by assignment of initial displacement or initial velocity of anyone oscillator. For the realization of non-subside vibrations the dissipative components in both equations are equated to zero. It is shown that by proper choice of initial displacement the character of vibrations every oscillators as a whole is similar to its for the system with external excitation. The comparison of dependencies of delay time from the level of external excitation and initial displacement is executed. It is shown that in both cases the dependencies on the whole are in geometry similar and are described by the low of inverse proportion. The character of vibrations in both sides away the interval of delay realization is investigated. It is shown that in both cases of external excitation and initial displacement the character of vibrations remains the same. As a result of executed comparison it is made the intermediate conclusion about equivalency of excitation system from two oscillators also as external excitation so as initial displacement. It is established that the reason of equivalency is the identity of dynamic potential in both cases. With the purpose of determination of possibility to further simplification of connected equation system it is investigated the role of correlation between own frequencies both oscillators. It is shown that the excitation of high-amplitude chaos with corresponding delay by proper level of initial displacement is realized in continuous diapason of correlation both oscillators right until five relative units. It is established that the dependence of threshold level of initial displacement from ratio of frequency of second oscillator to the frequency of first oscillator is continuous and has clear determined increase quadratic character. The dependence of delay time from initial displacement by different correlations of both frequencies is investigated. It is shown that over anyone values of this correlation the delay time by increasing of initial displacement beginning from appointed critical meaning decreases by the low of inverse proportion. The critical meaning of displacement along the increasing of frequency correlation is also increased. With the purpose of determination of possibility to further simplification of system it is investigated the role of item of first equation which determines the linear connection of first oscillator with second oscillator. It is shown that the exclusion of linear connection by small correlation ratio of frequencies determines the decreasing of critical meaning of displacement and by large ratio of frequencies maintains former. In all of these cases the high-amplitude chaos is remained and delay time may reach very large values. With the purpose of further simplification of system it is investigated the role of own frequency of first oscillator. The dependence of delay time from initial displacement by equality to zero of first oscillator frequency and different frequencies of second oscillator are investigated. It is shown that in this case the critical meaning of displacement decreases more when the frequency of second oscillator decreases. In all of these cases when the item which correspond to frequency of first oscillator is absent the general character of high-amplitude chaos and corresponding delay is conserved. In the course of examination it was established that the exclusion of other items from the first equation break the possibility of realization of high-amplitude chaos with corresponding delay. The exclusion of potential item from second equation break its vibration character so it is not admissible. So in present stage of investigation the further simplification of system is determined as inexpedient. As a result of carried out the investigation from initial whole system of equation for two oscillators it is selected the core which is responsible for excitation of high-amplitude chaos with corresponding delay. The equation for displacement of first oscillator contains the second derivative by time, the item with cube nonlinearity and item of nonlinear connection of first oscillator with second oscillator. The equation for displacement of second oscillator contains the second derivative by time, the potential item which correspond to own frequency of second oscillator and item of linear connection of second oscillator with first oscillator. In this case the excitation of system may be realized by assignment of initial displacement or initial velocity of anyone oscillator.
Key words: nonlinear vibrations, connected oscillators, chaotic vibrations.
Литература
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Москва, Наука. 1981.
2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. Москва, Наука. 1988.
3. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. Москва, Наука-Физматлит. 2000.
4. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. Москва, Физматлит. 2003.
5. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). Москва, Физматлит. 2001.
6. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. Москва, Физматлит, 2002.
7. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. Москва, Техносфера. 2012.
8. Станкевич Н.В., Попова Е.С., Кузнецов А.П., Селезнев Е.П. Широкополосные хаотические колебания в слабосвязанном ансамбле автоколебательных осцилляторов. Письма в ЖТФ. 2019. Т.45. №24. С.17-20.
9. Малоземов А., Слонзуски Дж. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами. Москва, Мир. 1982.
10. Лисовский Ф.В. Физика цилиндрических магнитных доменов. Москва, Сов.Радио. 1979.
11. О’Делл Т. Ферромагнитодинамика. Динамика ЦМД, доменов и доменных стенок. Москва, Мир. 1983.
12. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Ферромагнитный резонанс в условиях ориентационного перехода. Москва, Физматлит. 2018.
13. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Динамика намагниченности в условиях изменения ее ориентации. Москва, Физматлит. 2019.
14. Сул Г. Теория ферромагнитного резонанса при больших уровнях высокочастотной мощности. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. А.Г. Гуревича. Москва, ИЛ. 1961. С.163.
15. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. Москва, Наука. 1971.
16. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны. Москва, Наука. 1987.
17. Захаров В.Е., Львов В.С., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения. УФН. 1974. Т.114. №4. С.609.
18. Kirilyuk A., Kimel A.V., Rasing T. Ultrafast optical manipulation of magnetic order. Rev. Mod. Phys. 2010. Vol.82. No.3. P.2731.
19. Bigot J.V., Vomir M. Ultrafast magnetization dynamics of nanostructures. Ann. Phys. (Berlin). 2013. Vol.525. No.1-2. P.2.
20. Jäger J.V., Scherbakov A.V., Linnik T.I., Yakovlev D.R., Wang M., Wadley P., Holy V., Cavill S.A., Akimov A.V., Rushforth A.W., Bayer M. Picosecond inverse magnetostriction in garfenol thin films. Appl. Phys. Lett. 2013. Vol.103. No.3. P.032409(5).
21. Walowski J., Münzenberg M. Perspective: Ultrafast magnetism and THz spintronics. J. Appl. Phys. 2016. Vol.120. No.14. P.140901(16).
22. Janusonis J., Chang C.L., Jansma T., Gatilova A., Vlasov V.S., Lomonosov A.M., Temnov V.V., Tobey R.I. Ultrafast magnetoelastic probing of surface acoustic transients. Phys. Rev. B. 2016. Vol.94. No.2. P.024415(7).
23. Чернов А.И., Кожаев М.А., Ветошко П.М., Додонов Д.В., Прокопов А.Р., Шумилов А.Г., Шапошников А.Н., Бержанский В.Н., Звездин А.К., Белотелов В.И. Локальное зондирование магнитных пленок с помощью оптического возбуждения магнитостатических волн. ФТТ. 2016. Т.58. №6. С.1093.
24. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Ориентационные характеристики возбуждения магнитоупругих волн фемтосекундным импульсом света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun17/5/text.pdf.
25. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Колебания намагниченности в магнитоупругой среде при ударном воздействии упругого смещения. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2018. №4. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/apr18/3/text.pdf.
26. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Излучение электромагнитной волны из магнитной пленки при воздействии фемтосекундного импульса света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun20/14/text.pdf.
27. Джаффе Д., Качерис Дж., Караянис Н. Ферритовый детектор СВЧ. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. А.Г. Гуревича. Москва, ИЛ. 1961. С.23.
28. Simon J.C., Broussaud G. Detection with microwave ferrites. Compt. Rend. Acad. Sci. 1954. Vol.238. No.24. P.2294.
29. Власов В.С., Плешев Д.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное детектирование магнитоупругих колебаний в режиме амплитудной модуляции. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2019. №3. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/mar19/7/text.pdf.
30. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Кратное преобразование частоты в схеме магнитострикционного преобразователя. Умножение частоты в режиме релаксации. РЭ. 2019. Т.64. №5. С.487-489.
31. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Кратное преобразование частоты в схеме магнитострикционного преобразователя. Умножение частоты в непрерывном режиме. РЭ. 2019. Т.64. №6. С.604-618.
32. Плешев Д.А., Асадуллин Ф.Ф., Оганезова Н.А., Власов В.С., Котов Л.Н., Щеглов В.И. Особенности динамики магнитной и упругой подсистем в тонкой ферритовой пленке при магнитострикционном преобразовании частот. Известия РАН. Серия Физическая. 2019. Т.83. №7. С.987-989.
33. Власов В.С., Плешев Д.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Детектирование частотно-модулированного СВЧ сигнала с помощью магнитострикционного преобразователя. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul20/3/text.pdf.
34. Плешев Д.А., Котов Л.Н., Власов В.С., Щеглов В.И. Преобразование частоты при акустическом резонансе в ферритах. Сыктывкар, ИПО СыктГУ. 2019.
35. Вейсс М. Сверхвысокочастотные и низкочастотные колебания, вызванные нестабильностью резонанса в ферритах. В кн.: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Сборник статей по ред. А.Г.Гуревича. Москва, ИЛ. 1961. С.281.
36. Щеглов В.И., Шавров В.Г., Зубков В.И., Власов В.С., Котов Л.Н. Автомодуляционный режим нелинейных вынужденных колебаний намагниченности феррита в резонаторе. Сборник трудов XII Международной конференции «Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие». Москва-Фирсановка, 2009. Издание МЭИ. С.100.
37. Щеглов В.И. Стохастическая неустойчивость траекторий поверхностных магнитостатических волн в периодически неоднородном поле типа «вала». XVII международная школа-семинар «Новые магнитные материалы микроэлектроники». Москва, 2000. Сборник трудов. С.331-333.
38. Зубков В.И., Щеглов В.И. Стохастическая неустойчивость траекторий поверхностных магнитостатических волн в ферритовой пленке, намагниченной модулированным полем с профилем «вала». Письма в ЖТФ. 2001. Т.27. №8. С.90-94.
39. Щеглов В.И. Стохастическая неустойчивость траекторий поверхностных магнитостатических волн в поле типа «вала» с пространственной модуляцией. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. №10. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/oct14/1/text.pdf.
40. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Магнитостатические волны в неоднородных полях. Москва, Физматлит. 2016.
41. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Магнитостатические и электромагнитные волны в сложных структурах. Москва, Физматлит. 2017.
42. Ле-Кроу Р., Комсток Р. Магнитоупругие взаимодействия в ферромагнитных диэлектриках. В кн.: Мэзон У. (ред.): Физическая акустика. Т.3Б. Динамика решетки. М.: Мир. 1968. С.156.
43. Моносов Я.А., Сурин В.В., Щеглов В.И. Возбуждение резонансных упругих колебаний при нелинейном ферромагнитном резонансе. Письма в ЖЭТФ. 1968. Т.7. №9. С.315-317.
44. Зубков В.И., Моносов Я.А., Щеглов В.И. Спиновый эффект Мандельштама-Бриллюэна. Письма в ЖЭТФ. 1971. Т.13. №5. С.229-232.
45. Кирюхин Н.Н., Лисовский Ф.В. Спиновые волны в среде с пространственно-временной периодичностью. ФТТ. 1968. Т.10. №.3. С.709.
46. Медников А.М., Попков А.Ф., Анисимкин В.И., Нам Б.П., Петров А.А., Спиваков Д.Д., Хе А.С. Неупругое рассеяние поверхностной спиновой волны в тонкой пленке ЖИГ на поверхностной акустической волне. Письма в ЖЭТФ. 1981. Т.33. №.12. С.646.
47. Крышталь Р.Г., Медведь А.В. Экспериментальное исследование рассеяния нелинейных поверхностных магнитостатических волн на поверхностной акустической волне. ФТТ. 1992. Т.34. №.1. С.333.
48. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2009. Т.54. №7. С.863.
49. Власов В.С., Иванов А.П., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в системе двух связанных осцилляторов, один из которых является гиромагнитным. Сборник трудов XX Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва, НИУ МЭИ. 2012. С.248.
50. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ линейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №11. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.pdf.
51. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в нормально намагниченной ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва, НИУ МЭИ. 2013. С.188.
52. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа работы магнитострикционного преобразователя. Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва: «НИУ МЭИ». 2013. С.199.
53. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №2. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/feb13/10/text.pdf.
54. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2014. Т.59. №5. С.482.
55. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ нелинейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов в квадратичном приближении. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. №1. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/11/text.pdf.
56. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ колебаний в ферритовой пластине с магнитоупругими свойствами на основе модели квадратичного приближения. Материалы XXIII Всероссийской конференции «Электромагнитное поле и материалы». Москва, ИНФРА-М. 2015. С.202.
57. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 1. Основные уравнения. РЭ. 2015. Т.60. №1. С.79.
58. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 2. Некоторые нелинейные явления. РЭ. 2015. Т.60. №3. С.297.
59. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных колебаний в магнитоупругой среде на основе модели связанных магнитного и упругого осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №5. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.pdf.
60. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных явлений в системе связанных магнитного и упругого осцилляторов на основе модели потенциала. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun15/9/text.pdf.
61. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Вынужденные колебания в системе из двух связанных осцилляторов в условиях кубической нелинейности и квадратичной связи. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug20/7/text.pdf.
62. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 1. Динамический потенциал. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul17/6/text.pdf.
63. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 2. Линейная связь. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/5/text.pdf.
64. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 3. Нелинейная связь. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/6/text.pdf.
65. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Динамический потенциал как модель нестационарного запаздывания возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Сборник трудов XXVI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы (фундаментальные физические исследования». Москва, ИНФРА-М. 2018. С.243-253.
66. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва, Наука. 1973.
67. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. S.F. 1982.
68. Фракталы. Физическая энциклопедия. Т.5. С.371-372. Москва, Большая Российская Энциклопедия. 1998. 760 с.
Для цитирования:
Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 1. Общие положения. Формирование упрощенной системы. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.4