ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН English Войти Подать статью
Журнал радиоэлектроники Электронный научный журнал · eISSN 1684-1719
2021, № 4 · ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 4. Кольцевое взаимодействие

А.П. Иванов1, В.Г. Шавров2, В.И. Щеглов2

1 Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина, Сыктывкар, Россия
2 ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, Россия
Полный текст (PDF) DOI: 10.30898/1684-1719.2021.4.7 УДК 537.874 EDN SMHNHY

Аннотация

Настоящая работа является продолжением исследования нестационарного запаздывания установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Физической основной задачи является возбуждение мощных гиперзвуковых колебаний в ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами, а также возбуждение интенсивных шумовых колебаний в ферритовом диске, помещенном в электродинамический резонатор. Отмечено, что при определенных условиях колебания в таких системах принимают характер нестационарного высокоамплитудного хаоса, возбуждающегося со значительным запаздыванием после включения системы. В основании настоящего исследования лежит полученная в первой части работы достаточно общая система двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка, нелинейность в которых представлена в виде степенных функций до третьего порядка. В результате устранения второстепенных параметров из фундаментальной системы была выделена укороченная система - «первичное ядро», сохраняющее свойство нестационарного запаздывания и хаоса. Выявлен кольцевой характер укороченной системы, состоящий в том, что определяемое первым уравнением смещение первого осциллятора воздействует на смещение второго осциллятора через линейную связь второго уравнения, а получаемое при этом смещение второго осциллятора снова возвращается в первое уравнение через слагаемое нелинейной связи первого уравнения. При этом полная связь уравнений между собой образует как бы «кольцо», замкнутое само на себя. Относительно первого осциллятора в этом кольце имеется «посредник» - второй осциллятор, который здесь играет подчиненную роль. Рассмотрено последовательное действие осцилляторов друг на друга в схеме разомкнутого кольца. Показано, что воздействие синусоидального сигнала постоянной амплитуды на второй осциллятор, приводит к возбуждению его колебаний, имеющих характер биений. Воздействие таких биений на первый осциллятор приводит к сильно запаздывающему возбуждению хаотических колебаний. Рассмотрена возможность существования кольца в классической системе Лоренца, допускающей хаотические колебания. Путем замены переменных выполнено преобразование системы Лоренца, состоящей из трех уравнений первого порядка, к эквивалентной системе из двух уравнений, одно из которых имеет второй порядок, а другое - первый. Для такой системы установлен кольцевой характер, при котором уравнение первого порядка для второго осциллятора является «посредником» по отношению к уравнению второго порядка для первого осциллятора. Показано, что классическая система Лоренца, записанная в виде двух уравнений, имеет кольцевой характер, подобный таковому в системе для двух осцилляторов, причем развитие высокоамплитудного хаоса в системе Лоренца сопровождается задержкой в виде интервала регулярности, подобной задержке в системе для двух осцилляторов в виде интервала запаздывания. Подробно рассмотрен кольцевой характер релаксационной системы для двух осцилляторов. Предложен алгоритм пошагового расчета, имеющий двухступенчатый характер, первая ступень которого состоит в прохождении первой половины кольца, образованной первым уравнением, а вторая - в прохождении второй половины кольца, образованной вторым уравнением. Отмечена возможность представления системы из двух уравнений в виде, каждое из уравнений которого содержит выделенную из соответствующего уравнения собственную переменную, приравненную к остальной части того же уравнения. Отмечен кольцевой характер такого представления. Показано, что подстановка второй переменой из второго уравнения в первое приводит к уравнению, содержащему только первую переменную. Полученное при этом уравнение названо «кольцевым уравнением», а его решение - «кольцевой функцией». Установлено, что ввиду сложности кольцевого уравнения, единственным способом его решения является пошаговый. При этом значение переменой на данном шаге определяется через функцию, содержащую ту же переменную, полученную на предыдущем шаге. Отмечена аналогия такого решения с расчетом дискретных одномерных отображений. На примере классического логистического отображения рассчитано развитие колебаний по шагам для ряда значений параметра, в том числе охватывающих регулярный затухающий, регулярный стационарный и хаотический режимы. Установлено, что для логистического отображения запаздывание по шагам отсутствует. Отмечена возможность решения кольцевого уравнения, то есть расчета кольцевых функций, тем же пошаговым методом, каким рассчитываются отображения. Предложены два вида кольцевых функций - первого и второго рода, в качестве дискретно меняющейся переменной использующих время. Левая часть колебательных функций того и другого рода представляет собой переменную - смещение первого осциллятора на данном шаге. Правая часть содержит тригонометрическую функцию (синус или косинус), аргумент которой представляет собой произведение обобщенной частоты на время, соответствующие предыдущему шагу. Для кольцевой функции первого рода обобщенная частота пропорциональна смещению осциллятора плюс единица. Для кольцевой функции второго рода обобщенная частота пропорциональна смещению осциллятора плюс значение частоты, полученное на предыдущем шаге. Рассмотрено развитие колебаний во времени, описываемое кольцевыми функциями первого и второго рода. Приведен алгоритм расчета, подобный таковому, применяемому для отображений. Показано, что колебания во времени развиваются в два этапа. Для кольцевых функций первого рода в течение первого этапа колебания представляют собой регулярную синусоиду, а в течение второго этапа на регулярную синусоиду накладываются колебания со значительно меньшим периодом, имеющие хаотический характер. Для кольцевых функций второго рода в течение первого этапа колебания отсутствуют, то есть происходит их запаздывание, а в течение второго этапа развиваются высокоамплитудные хаотические колебания. В результате проделанного рассмотрения показано, что кольцевые функции второго рода обеспечивают удобную имитацию запаздывания и развития высокоамплитудного хаоса в системе из двух осцилляторов. Для кольцевой функции второго рода рассмотрено начало развития запаздывания высокоамплитудных колебаний, а также его окончание и переход к высокоамплитудному хаосу. Предложена модель, состоящая в борьбе между стремлением аргумента функции с течением времени уменьшиться до величины и ростом смещения, стремящегося этот аргумент увеличить. Выход из запаздывания и начало возбуждения высокоамплитудных колебаний происходит через нарушение такого баланса, обусловленного возбуждением колебаний треугольной формы. Приведены некоторые замечания о возможном развитии работы. В качестве важной задачи отмечена разработка модельного представление продолжительности интервала запаздывания. Этот вопрос может быть расширен не только на систему из двух осцилляторов, но и на кольцевые функции, а также дополнен исследованием интервала регулярности в системе Лоренца. Отмечена также важность рассмотрения роли нелинейной связи высоких порядков, позволяющей обобщить полученные результаты на более широкий круг явлений.

  • нелинейные колебания
  • связанные осцилляторы
  • хаотические колебания
Abstract (in English)

The non-stationary delay of establishment nonlinear vibrations in the system of two connected oscillators. Part 4. Circular interaction

This work is the continuation of investigation of non-stationary delay of establishment nonlinear vibrations in the system of two connected oscillators. The physical foundation of this task is the excitation of power hypersound in ferrite plate having magnetoelastic properties and also excitation of intensive electromagnetic vibrations in ferrite disc placed in electro-dynamic resonator. It is found that under certain conditions the vibrations in these systems take character of non-stationary large-amplitude chaos which excites with large delay after the system is switched. The foundation of this work is received in the first part of this work the enough general system of two connected differential second order equations having nonlinearity as the power row to third order. As a result of elimination of secondary parameters from fundamental system it was selected the reduced system - «initial core» which preserves the properties of non-stationary delay and chaos. It is found the circular character of reduced system. In this character the determined by first equation displacement of first oscillator influences to the displacement of second oscillator through the linear connection of second equation. The received in this case displacement of second oscillator again return to the first equation through the item of nonlinear connection of first equation. In this case the whole connection of equations between ones forms the «ring», which is closed by itself. The first oscillator in this ring has the «mediator» - the second oscillator which plays the subordinate role. In the scheme of break ring the successive influence of oscillators one to other is investigated. It is shown that the influence of sinusoidal signal with constant amplitude to second oscillator leads to the excitation of its vibrations which has the beating character. The influence of these beatings to first oscillator leads to the large delay of excitation chaotic vibrations. The possibility of existence of ring in classic system of Lorents which admit chaotic vibrations. By the replacement of variables it is execute the transformation of Lorents system having three equations of first order to equivalent system having two equations. In this system the first equation has second order and second equation has first order. For this system it is established the circular character. In this case the first order equation for second oscillator is the «mediator» for second order equation for first oscillator. It is shown that the classic Lorents system which is described as a system of two equations has circular character which is the similar to the circular character for two oscillators. In Lorents system the development of large-amplitude chaos is accompanied by time-delay which has form of interval of regularity which is the similar as time-delay in system for two oscillators. The circular character of relax system for two oscillators is investigated. It is proposed the algorithm of step by step calculation hawing two stages character. The first stage is the passage of first half of whole ring which is determined by first equation. The second stage is the passage of second half of whole ring which is determined by second equation. It is established the possibility of presentation of system from two equations in the form when each equation contains selected from corresponding equation the own variable quantity which is equated for the remaining part of initial equation. It is established the circular character of this presentation. It is shown that the substitution the second variable form second equation to the first equation leads to the equation which contain only first variable. The excitation which is found by this substitution is named as «ring excitation» and its solution is named by «ring function». It is established that by the reason of large complexity of ring equation the unique method of its solution is step by step method. In this case the meaning of the variable on present step is determined by the function which contains the same variable which is determined on previous step. It is attended the analogy of this solution with the calculation of discrete single size reflection. On the example of classic logistical reflection it is calculated the development of vibrations by steps for some meanings of parameters which spread the regular dissipative, regular stationary and chaotic regimes. It is established that the delay by steps for logistical reflection is absent. It is established the possibility of ring equation solution as ring function using the same step by step method which is used for the calculation of reflections. It is proposed two variety of ring functions - first and second kind which in the quality of discrete varying variable uses the time. The left part of vibration function of both kinds is the variety - the displacement of first oscillator on the present step. The right part contains the trigonometric function (sine or cosine) which argument is the product of generalized frequency on the time which correspond to the previous step. For the ring function of first kind the generalized function is proportional to the displacement of oscillator plus unit. For the ring function of second kind the generalized frequency is proportional to the displacement of oscillator plus value of frequency which is determined by previous step. It is investigated the development of vibrations on time which is described by ring functions of first and second kinds. It ir proposed the algorithm of calculation which is similar to algorithm which is used for the reflections. It is shown that the vibrations in time are developed in two stages. For the ring function of first kind during the first stage the vibrations are the regular sine and during the second stage on the regular sine is deposited the chaotic vibrations having more lesser period. For the ring function of second kind during the first stage the vibrations are absent which is its delay and during the second stage the large-amplitude chaos is developed. As a result of performed investigation it is shown that the ring functions of second kind provide the convenient imitation of delay and development of the large-amplitude chaos in the system of two oscillators. For the ring function of second kind it is investigated the beginning of development of delay the large-amplitude vibrations and its end and transition to the large-amplitude chaos. It is proposed the model which is consist of the aspiration of function argument during the time to decrease to value π/2 and the increasing of displacement which try to increase of this argument. The exit from delay and beginning of the large-amplitude vibrations is passed through the breach of this balance which is determined by the excitation of vibrations having triangular form. It is proposed some comments about possible development of this work. As an important task it is mentioned the construction of model idea about duration of delay time. This question may be expanded not only the system of two oscillators and also on the ring functions and supplemented the investigation of interval of regularity in Lorents system. It is mentioned the importance of investigation of the role of nonlinear connection having high orders. This investigation may be applied to more wide round of phenomena.

Для цитирования

Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 4. Кольцевое взаимодействие // Журнал радиоэлектроники. – 2021. – № 4. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.7

Литература

  1. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. Москва, Наука. 1978.
  2. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. Москва, Физматлит. 2003.
  3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Москва, Наука. 1981.
  4. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. Москва, Наука-Физматлит. 2000.
  5. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. Москва, Наука. 1988.
  6. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). Москва, Физматлит. 2001.
  7. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. Москва, Наука. 1987.
  8. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. Москва, Наука. 1990.
  9. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. Москва, Физматлит, 2002.
  10. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. Москва, Техносфера. 2012.
  11. Мелчер Дж., Эйрс В., Вертенен П. Удвоение частоты с 9000 до 18000 МГц при помощи ферритов. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.44-55.
  12. Скомел Е., Медина М. Исследование преобразования частоты в намагниченном феррите. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.56-59.
  13. Джаффе Д., Качерис Дж., Караянис Н. Ферритовый детектор СВЧ. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.23.
  14. Simon J.C., Broussaud G. Detection with microwave ferrites. Compt. Rend. Acad. Sci. 1954. Vol. 238. No.24. P.2294.
  15. Власов В.С., Плешев Д.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное детектирование магнитоупругих колебаний в режиме амплитудной модуляции. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2019. №3. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/mar19/7/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2019.3.7.
  16. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Кратное преобразование частоты в схеме магнитострикционного преобразователя. Умножение частоты в режиме релаксации. РЭ. 2019. Т.64. №5. С.487-489.
  17. Шавров В.Г., Щеглов В.И. Кратное преобразование частоты в схеме магнитострикционного преобразователя. Умножение частоты в непрерывном режиме. РЭ. 2019. Т.64. №6. С.604-618.
  18. Плешев Д.А., Асадуллин Ф.Ф., Оганезова Н.А., Власов В.С., Котов Л.Н., Щеглов В.И. Особенности динамики магнитной и упругой подсистем в тонкой ферритовой пленке при магнитострикционном преобразовании частот. Известия РАН. Серия Физическая. 2019. Т.83. №7. С.987-989.
  19. Власов В.С., Плешев Д.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Детектирование частотно-модулированного СВЧ сигнала с помощью магнитострикционного преобразователя. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul20/3/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2020.7.3.
  20. Плешев Д.А., Котов Л.Н., Власов В.С., Щеглов В.И. Преобразование частоты при акустическом резонансе в ферритах. Сыктывкар, ИПО СыктГУ. 2019.
  21. Сул Г. Теория ферромагнитного резонанса при больших уровнях высокочастотной мощности. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.163.
  22. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. Москва, Наука. 1971.
  23. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны. Москва, Наука. 1987.
  24. Захаров В.Е., Львов В.С., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения. УФН. 1974. Т.114. №4. С.609.
  25. Kirilyuk A., Kimel A.V., Rasing T. Ultrafast optical manipulation of magnetic order. Rev. Mod. Phys. 2010. Vol.82. No.3. P.2731.
  26. Dreher L., Weiler M., Pernpeintner M., Huebl H., Gross R., Brandt M.S., Goennenwein S.T.B. Surface acoustic wave driven ferromagnetic resonance in nickel thin films: theory and experiment. Phys. Rev. B. 2012. Vol.86. No.13. P.134415(13).
  27. Bigot J.V., Vomir M. Ultrafast magnetization dynamics of nanostructures. Ann. Phys. (Berlin). 2013. Vol.525. No.1-2. P.2.
  28. Jäger J.V., Scherbakov A.V., Linnik T.I., Yakovlev D.R., Wang M., Wadley P., Holy V., Cavill S.A., Akimov A.V., Rushforth A.W., Bayer M. Picosecond inverse magnetostriction in garfenol thin films. Appl. Phys. Lett. 2013. Vol.103. No.3. P.032409(5).
  29. Thevenard L., Gourdon C., Prieur J.Y., Von Bardeleben H.J., Vincent S., Becerra L., Largeau L., Duquesne J.Y. Surface-acoustic-wave-driven ferromagnetic resonance in (Ga,Mn)(As,P) epilayers. Phys. Rev. B. 2014. Vol.90. No.9. P.094401(8).
  30. Walowski J., Münzenberg M. Perspective: Ultrafast magnetism and THz spintronics. J. Appl. Phys. 2016. Vol.120. No.14. P.140901(16).
  31. Janusonis J., Chang C.L., Jansma T., Gatilova A., Vlasov V.S., Lomonosov A.M., Temnov V.V., Tobey R.I. Ultrafast magnetoelastic probing of surface acoustic transients. Phys. Rev. B. 2016. Vol.94. No.2. P.024415(7).
  32. Чернов А.И., Кожаев М.А., Ветошко П.М., Додонов Д.В., Прокопов А.Р., Шумилов А.Г., Шапошников А.Н., Бержанский В.Н., Звездин А.К., Белотелов В.И. Локальное зондирование магнитных пленок с помощью оптического возбуждения магнитостатических волн. ФТТ. 2016. Т.58. №6. С.1093.
  33. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Ориентационные характеристики возбуждения магнитоупругих волн фемтосекундным импульсом света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun17/5/text.pdf.
  34. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Колебания намагниченности в магнитоупругой среде при ударном воздействии упругого смещения. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2018. №4. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/apr18/3/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2018.4.3.
  35. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Излучение электромагнитной волны из магнитной пленки при воздействии фемтосекундного импульса света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun20/14/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2020.6.14.
  36. Comstock R.L., LeCraw R.C. Generation of microwave elastic vibrations in a disk by ferromagnetic resonance. J. Appl. Phys. 1963. Vol.34. No.10. P.3022.
  37. Schlömann E., Joseph R.I. Generation of spin waves in nonuniform magnetic fields. III. Magneto-elastic interaction. JAP. 1964. Vol.35. No.8. P.2382.
  38. Ле-Кроу Р., Комсток Р. Магнитоупругие взаимодействия в ферромагнитных диэлектриках. В кн.: Мэзон У., ред. Физическая акустика. Т.3Б. Динамика решетки. Москва, Мир. 1968. С.156.
  39. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2009. Т.54. №7. С.863.
  40. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №2. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/feb13/10/text.pdf.
  41. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2014. Т.59. №5. С.482.
  42. Вейсс М. Сверхвысокочастотные и низкочастотные колебания, вызванные нестабильностью резонанса в ферритах. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.281.
  43. Щеглов В.И., Шавров В.Г., Зубков В.И., Власов В.С., Котов Л.Н. Автомодуляционный режим нелинейных вынужденных колебаний намагниченности феррита в резонаторе. Сборник трудов XII Международной конференции "Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие". Москва-Фирсановка, Издание МЭИ. 2009. С.100.
  44. Власов В.С., Иванов А.П., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в системе двух связанных осцилляторов, один из которых является гиромагнитным. Сборник трудов XX Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, НИУ МЭИ. 2012. С.248.
  45. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ линейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №11. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.pdf.
  46. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в нормально намагниченной ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Сборник трудов XXI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, НИУ МЭИ. 2013. С.188.
  47. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа работы магнитострикционного преобразователя. Сборник трудов XXI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, "НИУ МЭИ". 2013. С.199.
  48. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ нелинейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов в квадратичном приближении. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2014. №1. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/11/text.pdf.
  49. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ колебаний в ферритовой пластине с магнитоупругими свойствами на основе модели квадратичного приближения. Материалы XXIII Всероссийской конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, ИНФРА-М. 2015. С.202.
  50. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 1. Основные уравнения. РЭ. 2015. Т.60. №1. С.79.
  51. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 2. Некоторые нелинейные явления. РЭ. 2015. Т.60. №3. С.297.
  52. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных колебаний в магнитоупругой среде на основе модели связанных магнитного и упругого осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №5. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.pdf.
  53. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных явлений в системе связанных магнитного и упругого осцилляторов на основе модели потенциала. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun15/9/text.pdf.
  54. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Вынужденные колебания в системе из двух связанных осцилляторов в условиях кубической нелинейности и квадратичной связи. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug20/7/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2020.8.7.
  55. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 1. Динамический потенциал. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul17/6/text.pdf.
  56. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 2. Линейная связь. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/5/text.pdf.
  57. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 3. Нелинейная связь. Электронный "Журнал радиоэлектроники". 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/6/text.pdf.
  58. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Динамический потенциал как модель нестационарного запаздывания возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Сборник трудов XXVI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы (фундаментальные физические исследования)". Москва, ИНФРА-М. 2018. С.243-253.
  59. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 1. Общие положения. Формирование упрощенной системы. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. http://jre.cplire.ru/jre/apr21/4/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.4.
  60. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 2. Воздействие осцилляторов друг на друга. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. http://jre.cplire.ru/jre/apr21/5/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.5.
  61. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 3. Кольцевое взаимодействие. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. http://jre.cplire.ru/jre/apr21/6/text.pdf. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.6.
  62. Харкевич А.А. Основы радиотехники. Москва, Физматлит. 2007.
  63. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Москва, Наука. 1973.