Kotelnikov Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS Русский Sign in Submit a paper
Journal of Radio Electronics Online scientific journal · eISSN 1684-1719
2022, № 10 · MATHEMATICAL MODELS IN RADIO ELECTRONICS PROBLEMS

The plane wave expansion method for investigating the dispersion properties of metallic photonic crystals

A. Vetluzhsky1

1 Institute of Physical Materials Science of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Ulan-Ude, Russia
Full text DOI: 10.30898/1684-1719.2022.10.8 UDC 519.6 EDN BXBSMM

Abstract

Original method for studying the dispersion characteristics of photonic crystals - media with a dielectric constant that varies periodically in space - is considered. The method is based on the representation of the wave functions and permittivity of a periodic medium in the form of Fourier series and their subsequent substitution into the wave equation, which leads to the formulation of the dispersion equation. Using the latter, for each value of the wave vector it is possible determined a set of eigen frequencies. Each of eigen frequency forms a separate dispersion curve as a continuous function of the wave number. The Fourier expansion coefficients of the permittivity, which depend on the vectors of the reciprocal lattice of the photonic crystal, are determined on the basis of data on the geometric characteristics of the elements that form the crystal, their electrophysical properties and the density of the crystal. The solution of the dispersion equation found makes it possible to obtain complete information about the number of modes propagating in a periodic structure at different frequencies, and about the possibility of forming band gaps, i.e. frequency ranges within which wave propagation through a photonic crystal is impossible. The focus of this work is on the application of this method to the analysis of the dispersion properties of metallic photonic crystals. The difficulties that arise in this case due to the presence of intrinsic dispersion properties of the metals that form the elements of the crystal are overcome by an analytical description of their permittivity based on the model of free electrons. As a result, a dispersion equation is formulated, the numerical solution of which is easily algorithmized. That makes possible to determine the dispersion characteristics of metallic photonic crystals with arbitrary parameters. Obtained by this method the results of calculation of dispersion diagrams, which characterize two-dimensional metal photonic crystals, are compared with experimental data and numerical results obtained using the method of self-consistent equations. Their good agreement is demonstrated.

  • numerical methods
  • photonic crystals
  • brillouin zones
  • dispersion characteristics
  • band gaps
  • spectrum
Аннотация (на русском)

Метод разложения по плоским волнам для исследования дисперсионных свойств металлических фотонных кристаллов

Описывается метод изучения дисперсионных характеристик фотонных кристаллов - сред с периодически меняющейся в пространстве диэлектрической проницаемостью. Метод базируется на представлении волновых функций и диэлектрической проницаемости периодической среды в виде рядов Фурье и последующей их подстановки в волновое уравнение, приводящей к формулировке дисперсионного уравнения. Исходя из последнего, для каждого значения волнового вектора можно определить набор собственных частот, каждая из которых, являясь непрерывной функцией волнового числа, образует отдельную дисперсионную кривую. Коэффициенты Фурье-разложения диэлектрической проницаемости, зависящие от векторов обратной решетки фотонного кристалла, определяются на основе данных о геометрических характеристиках элементов, образующих кристалл, их электрофизических свойствах и плотности заполнения кристалла. Решение найденного дисперсионного уравнения позволяет получить полную информацию о числе мод, распространяющихся в периодической структуре на различных частотах, и о возможности формирования в ней запрещенных зон - диапазонов частот, в пределах которых волновое распространение через фотонный кристалл невозможно. Основное внимание в работе уделяется использованию данного метода для анализа дисперсионных свойств металлических фотонных кристаллов. Сложности, возникающие в данном случае из-за наличия собственных дисперсионных свойств металлов, образующих элементы кристалла, преодолеваются аналитическим описанием их диэлектрической проницаемости, основывающемся на модели свободных электронов. В итоге формулируется дисперсионное уравнение, численное решение которого легко алгоритмизируется, что позволяет определять дисперсионные характеристики металлических фотонных кристаллов с произвольными параметрами. В работе сопоставляются полученные по данной методике результаты расчета дисперсионных диаграмм, характеризующих двумерные металлические фотонные кристаллы, с экспериментальными данными и численными результатами, полученными с использованием метода самосогласованных уравнений. Демонстрируется их хорошее согласие.

For citation

Vetluzhsky A. The plane wave expansion method for investigating the dispersion properties of metallic photonic crystals // Journal of Radio Electronics. – 2022. – No. 10. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2022.10.8

References

  1. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. Phys. Rev. Lett. 1987. V.8. №20. P.2059-2062. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.58.2059
  2. Кравченко В.Ф., Лабунько О.С., Лерер А.М., Синявский Г.П. Вычислительные методы в современной радиофизике. Москва, Физматлит. 2009. 469 с.
  3. Гринев А.Ю., Гиголо А.И. Математические основы и методы решения задач электродинамики. Москва, Радиотехника. 2015. 216 с.
  4. Gao Y.-J., Yang H.-W., Wang G.-B. A research on the electromagnetic properties of Plasma Photonic Crystal based on the Symplectic Finite-Difference Time-Domain method. Optik. 2016. V.127. №4. P.1838-1841. https://doi.org/10.1016/j.ijleo.2015.11.089
  5. Lourtioz J.-M., Benisty H., Berger V., et al. Photonic Crystals: Towards Nanoscale Photonic Devices. 2nd edition. Springer. 2008. 513 р.
  6. Ветлужский А.Ю. Волноводные устройства на основе линейных дефектов в металлических электромагнитных кристаллах. ЖТФ. 2017. Т.87. №1. С.150-154. https://doi.org/10.1134/S106378421701025X
  7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Высшие трансцендентные функции. Т.2. 2-е изд. Москва, Наука. 1974. 296 с.
  8. McGurn A.R., Maradudin A.A. Photonic band structures of two- and three-dimensional periodic metal or semiconductor arrays. Phys. Rev. B. 1993. V.48. №23. P.17576-17579. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.48.17576
  9. El-Kady I., Sigalas M.M., Biswas R., Ho K.M., Soukoulis C.M. Metallic photonic crystals at optical wavelengths. Phys. Rev. B. 2000. V.62. №23. P.15299-15302. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.15299
  10. Ветлужский А.Ю. Эффективные электрофизические свойства металлических электромагнитных кристаллов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №1.
  11. Ветлужский А.Ю. Метод самосогласованных уравнений при решении задач рассеяния волн на системах цилиндрических тел. Компьютерные исследования и моделирование. 2021. Т.13. №4. С.725-733. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2021-13-4-725-733
  12. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. Москва, Наука. 1978. 792 с.