Kotelnikov Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS Русский Sign in Submit a paper
Journal of Radio Electronics Online scientific journal · eISSN 1684-1719
2025, № 6 · MATHEMATICAL MODELS IN RADIO ELECTRONICS PROBLEMS

Investigation of the properties of the Fourier transform of Hermite-Gauss wavelets and application of the results obtained in radio electronics problems

A.Y. Grishentsev1, N.V. Korovkin2, A.G. Korobeynikov1,3

1 ITMO University, St. Petersburg, Russia
2 Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University, St. Petersburg, Russia
3 St.Petersburg branch of Pushkov institute of terrestrial magnetism, ionosphere and radio wave propagation RAS, St. Petersburg, Russia
Full text DOI: 10.30898/1684-1719.2025.6.11 UDC 621.3.01 EDN RGJZOU

Abstract

Hermite-Gauss wavelets are obtained as a result of the product of Hermite polynomials by the Gauss function. Hermite-Gauss wavelets form a basis in the space of real numbers and therefore allow decomposition of functions satisfying the Dirichlet condition. The set of orthonormal forms of Hermite-Gauss wavelets are eigenfunctions of the Fourier transform, such a feature determines the use of wavelets in a wide range of theoretical and practical engineering problems. An analysis of the literature shows that insufficient attention has been paid to the Fourier transform of various forms of Hermite-Gauss wavelets, their mutual expression through the Fourier transform and connections with other functions having the form of a product of polynomials by a Gauss function. Therefore, according to the authors, the research is relevant. The subject of research is to increase the efficiency of the Fourier transform of some types of polynomials based on the Hermite-Gauss wavelet decomposition. In the course of the research, five interrelated theorems have been formulated and proved, forming the basis of the work. Two types of decomposition are used to formulate and prove theorems. The first decomposition method is based on a generalized Fourier transform based on the Hermite-Gauss wavelet basis. The second method of decomposition of polynomials is based on sequential division with remainder. The main result of the work is the proposed mathematical apparatus in the form of formulated and proven theorems applicable to the Fourier transform of arbitrary polynomials of one variable multiplied by the Gauss function, and the transformation is performed analytically and without using the Fourier integral. According to the authors, the obtained result contributes to the development of the theory and practice of signal processing in the field of radio electronics, optoelectronics, electrical engineering and the theory of automatic control. In the final part of the paper, some examples of the use of the developed theory are presented and a method for synthesizing the responses of systems with a fractional-rational transfer function and a method for synthesizing radio signals based on Hermite-Gauss wavelets is proposed.

  • Hermite-Gauss wavelets
  • hermite polynomials
  • fourier transform
  • eigenfunctions
  • transfer function
  • signal synthesis
Аннотация (на русском)

Исследование свойств преобразования Фурье вейвлетов Эрмита-Гаусса и применение полученных результатов в задачах радиоэлектроники

Вейвлеты Эрмита-Гаусса получают в результате произведения полиномов Эрмита на функцию Гаусса. Вейвлеты Эрмита-Гаусса образуют базис в пространстве вещественных чисел и поэтому позволяют производить декомпозицию функций удовлетворяющих условию Дирихле. Множество ортонормированных форм вейвлетов Эрмита-Гаусса являются собственными функциями преобразования Фурье, такая особенность определяет использование вейвлетов в широком спектре теоретических и практических инженерных задач. Анализ литературы показывает, что преобразованию Фурье различных форм вейвлетов Эрмита-Гаусса, их взаимному выражению через преобразование Фурье и связи с другими функциями имеющими вид произведения полиномов на функцию Гаусса, уделено недостаточное внимание. Поэтому, по мнению авторов, исследования являются актуальными. Предметом исследований является повышение эффективности преобразования Фурье многочленов некоторых видов на основе декомпозиции по базису вейвлетов Эрмита-Гаусса. В ходе исследований сформулировано и доказано пять взаимосвязанных теорем, образующих основу работы. Для формулировок и доказательства теорем используется два вида декомпозиции. Первый способ декомпозиции основан на обобщенном преобразовании Фурье по базису вейвлетов Эрмита-Гаусса. Второй способ декомпозиции многочленов основан на последовательном делении с остатком. Основным результатом работы является предложенный математический аппарат в виде сформулированных и доказанных теорем применимых для преобразования Фурье произвольных полиномов одной переменной, умноженных на функцию Гаусса, причем преобразование выполняется аналитически и без использования интеграла Фурье. По мнению авторов, полученный результат способствует развитию теории и практики обработки сигналов, в области радиоэлектроники, оптоэлектроники, электротехники и теории автоматического управления. В заключительной части работы изложены некоторые примеры использования разработанной теории и предложен метод синтеза откликов систем имеющих дробно-рациональную передаточную функцию и метод синтеза радиосигналов на основе вейвлетов Эрмита-Гаусса.

For citation

Grishentsev A.Y., Korovkin N.V., Korobeynikov A.G. Investigation of the properties of the Fourier transform of Hermite-Gauss wavelets and application of the results obtained in radio electronics problems // Journal of Radio Electronics. – 2025. – No. 6. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2025.6.11

References

  1. Hermite M. Sur un nouveau développement en série des fonctions. - Imprimerie de Gauthier-Villars, 1864.
  2. Градштейн И.С., Рыжик И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.
  3. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. - М.: Наука, 1981. - 800 с.
  4. Суетин С.П. Полиномы Эрмита-Паде и квадратичные аппроксимации Шафера для многозначных аналитических функций // Успехи математических наук. - 2020. - Т. 75. - №. 4 (454). - С. 213-214. https://doi.org/10.4213/rm9954
  5. Duran U. et al. A note on the (p, q)-Hermite polynomials // Appl. Math. Inf. Sci. - 2018. - V. 12. - №. 1. - P. 227-231. https://doi.org/10.18576/amis/120122
  6. Шарапудинов И.И., Гаджиева З.Д., Гаджимирзаев Р.М. Разностные уравнения и полиномы, ортогональные по Соболеву, порожденные многочленами Мейкснера // Владикавказский математический журнал. - 2017. - Т. 19. - №. 2. - С. 58-72. https://doi.org/10.23671/VNC.2017.2.6509
  7. Горлов В.А., Паршин Д.С. Разложение функции с экспоненциальным ростом в ряд Фурье по ортогональным полиномам Чебышева-Эрмита // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. - 2015. - Т. 3. - №. 8-3. - С. 245-248. https://doi.org/10.12737/15633
  8. Доброхотов С.Ю., Цветкова А.В. О лагранжевых многообразиях, связанных с асимптотикой полиномов Эрмита // Математические заметки. - 2018. - Т. 104. - № 6. - С. 835-850. https://doi.org/10.4213/mzm12093
  9. Ровба Е.А., Пищик К.В. Интерполяционный рациональный процесс Эрмита-Фейера на отрезке. Вестник Гродненского государственного университета имени Янки Купалы. Серия 2. Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. 2020. - Т. 10. - № 3. - С. 6-15.
  10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.
  11. Борзов В.В., Дамаскинский Е.В. Обобщенные когерентные состояния: Новый подход // Записки научных семинаров Санкт-Петербургского отделения математического института им. В.А. Стеклова РАН. - 2003. - Т. 300. - №. 8. - С. 65-71.
  12. Кислинский В.С., Грахова Е.П., Абдрахманова Г.И. Применение вейвлетов и функций Эрмита для моделирования СШП импульсов под требования маски ГКРЧ // Инфокоммуникационные технологии. 2015. - Т. 13. - № 4. - С. 391-398. https://doi.org/10.18469/ikt.2015.13.4.05
  13. Синицын И.Н. Методы моментов в задачах аналитического моделирования распределений в нелинейных стохастических системах на многообразиях // Системы и средства информатики. - 2015. - Т. 25. - № 3. - С. 24-43. https://doi.org/10.14357/08696527150302
  14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Второе издание. - М.: Наука, 1974. - 296 с.
  15. Гришенцев А.Ю. Автокорреляционные и фрактальные свойства матриц линейного унитарного преобразования Фурье // Радиотехника. 2019. - № 1. - С. 5-14. https://doi.org/10.18127/j00338486-201901-01
  16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс, 9-е изд. - М.: Айрис-пресс. 2010. - 608 с.
  17. Зиборов С.Р. Синтез линейных радиотехнических цепей. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2013. - 92 c.
  18. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники, 4-е изд. Т. 1. - СПб: Питер, 2006. - 463 с.