Kotelnikov Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS Русский Sign in Submit a paper
Journal of Radio Electronics Online scientific journal · eISSN 1684-1719
2026, № 3 · MATHEMATICAL MODELS IN RADIO ELECTRONICS PROBLEMS

Self-consistent equation method for weak scattering analysis on two-dimensional lattices of dielectric spheres

A.Y. Vetluzhsky1

1 Institute of Physical Materials Science of the Siberian Branch of the RAS, Ulan-Ude, Russia
Full text DOI: 10.30898/1684-1719.2026.3.15 UDC 535.42 EDN MKHNJB

Abstract

The article proposes and provides a detailed analysis of a self-consistent equations method designed for studying the diffraction of electromagnetic waves on photonic crystal structures, which are a periodic two-dimensional lattice of dielectric spheres. The modeling was performed within the scalar approximation, which significantly simplified the mathematical formalism for systems characterized by weak dielectric constant contrast and subwavelength sizes of scattering particles (sphere radius smaller than the incident radiation wavelength). A key advantage of the developed approach is the explicit accounting of multiple scattering effects between all lattice elements. This ensures efficient determination of scattered wave amplitudes in the far-field zone and allows for the analysis of conditions for the formation of photonic band gaps (stopbands and passbands). To validate the theoretical model, a detailed comparison of calculated spectral characteristics, particularly transmission coefficients, with the results of rigorous numerical modeling performed by the finite element method was conducted. It is shown that the self-consistent equations method provides high accuracy in the long-wavelength part of the spectrum, when the radiation wavelength exceeds the structure period, as well as in the case of small values of the dielectric constant of the sphere material. Furthermore, this method imposes no restrictions on the ratios between the period of element arrangement in the lattice and the sphere radius and remains functional even with very dense structure packing. The work defines the limits of the method's applicability, associated with an increase in refractive index contrast and a decrease in the wavelength-to-lattice-period ratio, providing clear criteria for its use. The developed approach can be successfully applied for rapid preliminary analysis, parameter optimization, and design of flat photonic crystal structures and metasurfaces based on dielectric spheres, especially under conditions of weak scattering and moderate contrast of optical properties, which are of practical interest for modern optical devices.

  • photonic crystals
  • sphere diffraction
  • self-consistent equation method
  • subwavelength particles
  • refractive index
Аннотация (на русском)

Метод самосогласованных уравнений для анализа слабого рассеяния на двумерных решетках диэлектрических сфер

В статье предложен и проанализирован метод самосогласованных уравнений, предназначенный для исследования дифракции электромагнитных волн на фотонно-кристаллических структурах, представляющих собой периодические двумерные решетки диэлектрических сфер. Моделирование выполнено в рамках скалярного приближения, что позволило существенно упростить математический аппарат для систем, характеризующихся слабым контрастом диэлектрической проницаемости и субволновыми размерами рассеивающих частиц (радиус сфер меньше длины волны падающего излучения). Ключевым преимуществом разработанного подхода является явный учет эффектов многократного рассеяния между всеми элементами решетки, что обеспечивает эффективное определение амплитуд рассеянных волн в дальней зоне и позволяет анализировать условия формирования фотонных запрещенных зон (полос пропускания и непропускания). Для валидации теоретической модели проведено детальное сопоставление расчетных спектральных характеристик, в частности коэффициентов пропускания, с результатами строгого численного моделирования, выполненного методом конечных элементов. Показано, что метод самосогласованных уравнений обеспечивает высокую точность в длинноволновой части спектра, когда длина волны излучения превышает период структуры, а также в случае малых значений диэлектрической проницаемости материала сфер. При этом указанный метод не накладывает ограничений на соотношения между периодом расположения элементов в решетке и радиусом сфер и оказывается работоспособным при весьма плотной компоновке структуры. В работе определены границы применимости метода, связанные с увеличением контраста показателя преломления и уменьшением отношения длины волны к периоду решетки, что дает четкие критерии для его использования. Разработанный подход может быть успешно применен для быстрого предварительного анализа, оптимизации параметров и проектирования плоских фотонно-кристаллических структур и метаповерхностей на основе диэлектрических сфер, особенно в условиях слабого рассеяния и умеренного контраста показателей преломления, представляющих практический интерес для современных оптических устройств.

For citation

Vetluzhsky A.Y. Self-consistent equation method for weak scattering analysis on two-dimensional lattices of dielectric spheres // Journal of Radio Electronics. – 2026. – No. 3. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2026.3.15

References

  1. Pendry J.B., Schurig D., Smith D. R. Controlling Electromagnetic Fields // Science. - 2006. - V. 312. - P. 1780-1782. https://doi.org/10.1126/science.1125907
  2. Yu N., Capasso F. Flat optics with designer metasurfaces // Nature Materials. - 2014. - V. 13. - P. 139-150. https://doi.org/10.1038/nmat3839
  3. Bakker R.M., Permyakov D., Yu Y.F. et al. Magnetic and electric hotspots with silicon nanodimers // Nano Letters. - 2015. - V. 15. - P. 2137-2142. https://doi.org/10.1021/acs.nanolett.5b00128
  4. Krasnok A., Tymchenko M., Alu A. Nonlinear metasurfaces: a paradigm shift in nonlinear optics // Materials Today. - 2018. - V. 21. - P. 8-21. https://doi.org/10.1016/j.mattod.2017.06.007
  5. Ветлужский А.Ю. Метод самосогласованных уравнений при решении задач рассеяния волн на системах цилиндрических тел // Компьютерные исследования и моделирование. - 2021. - Т. 13. - № 4. - С.725-733. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2021-13-4-725-733
  6. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М.: Мир, 1964. - 428 с.
  7. Иванов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. - Минск: Наука и техника, 1968. - 584 с.
  8. Смородинский Я. А., Шелепин Л. А. Коэффициенты Клебша-Гордана с разных сторон // Успехи физических наук. - 1972. - Т. 106. - С. 3-45. https://doi.org/10.3367/UFNr.0106.197201a.0003
  9. Ветлужский А.Ю. Локализация электромагнитных волн в регулярных и случайных дискретных средах. - М.: Техносфера, 2025. - 283 с.