The non-stationary delay of establishment nonlinear vibrations in the system of two connected oscillators. Part 3. Determinating equation

Abstract

This work is the continuation of investigation of non-stationary delay of establishment nonlinear vibrations in the system of two connected oscillators. The physical foundation of this task is the excitation of power hypersound in ferrite plate having magnetoelastic properties and also excitation of intensive electromagnetic vibrations in ferrite disc placed in electro-dynamic resonator. The foundation of this work is received in the first part of this work the simplified system of two connected differential second order equations having vibration character. As a main step of simplification of the task it is made the substitution of the vibration of second oscillator by auxiliary function having harmonic dependency from the time. In this case the dynamic potential acquired the character of periodic “jumps” in forward and backward directions. By this circumstance the introduced function was named as “jumping”. As a result of introduction of jumping function it was the replacement of two equations of initial system by only one “determination” equation which maintains the properties of the large-amplitude chaos and non-stationary delay. On the basis of determination equation it is investigated the development of vibrations and founded its derivative in the time and the parametrical portrait is constructed. It is shown that the development of vibrations feels large delay in time which value surpass the period of jumping function about some times. When the delay is over it is developed by the sudden jump the non-stationary vibrations having the amplitude which surpass the initial displacement more then three orders. The parametrical portrait has the form of horizontal eight which is typical for chaotic vibrations. The spectrum composition of large-amplitude chaos is investigated. It is shown that in the whole spectrum is predominated the line which is correspond to frequency of jumping function. When this function is removed it is remained only clean chaos. The width of spectrum of this chaos exceeds the frequency of jumping function on two orders. The influence of initial displacement on delay time is investigated. It is shown that the delay time is depended on the value of initial displacement in the frame of inverse proportion law. The influence of jumping function amplitude on the delay time is investigated. It is found the critical value of this amplitude. It is shown that in the lower level of critical value the large-amplitude chaos is absent. It is shown that when the amplitude of jumping function increases the delay time is decreases. But on the general smooth dependence it is displaced some sharp maxima which correspond to sharp increasing of delay time on the value about one order and more. As a possible explanation of this dependence character it is proposed the hypothesis about its resonance character. The influence of jumping function frequency on the delay time is investigated. It is shown that when this frequency is increased the delay time also increases right until its critical value. Above the level of critical value the large-amplitude chaos is absent. It is noted the analogy of this phenomenon with the excitation of electric vibration circuit by sinusoidal force. In this case on the low frequency the current in the circuit vibrates in the same phase with excitation force and after the overcoming the resonance frequency the vibrations becomes in opposite phase. On the received dependence it if found some narrow maxima which corroborate the hypothesis about its resonance character. It is found that the determination equation contains inertial and potential parts for the characteristics of which is introduced the inertial and potential parameters as a coefficients by second derivative and item of cubic nonlinearity. The influence of inertial parameter on the delay time is investigated. It is found the critical value of this parameter lower of which the large-amplitude chaos is absent. The influence of potential parameter on the delay time is investigated. It is found that the excitation of large-amplitude chaos is possible along unlimited range of this parameter without some critical value. The influence of phase displacement of jumping function in comparison with initial moment of excitation on the delay time is investigated. It is found very strong dependence which is differed by small and large delay times. The small value of delay time is characterized by absence of sharp maxima on the dependence of delay time from initial displacement. It is shown that in this case the dependence of delay time from of phase displacement has very wide maximum when the dependence of jumping function is negative. In this region the large-amplitude chaos is absent. It is found that by large delay times so as in region of sharp maxima on the dependence of delay time from initial displacement the influence of phase displacement of jumping function is sharp increased. It is proposed some comments about possible development of this work. As a general tasks it is mentioned the construction of model idea about duration of delay time, more detailed clarification of nature of critical character of some parameters and more detailed investigation of phase character of described phenomena.

• nonlinear vibrations
• connected oscillators
• chaotic vibrations

Аннотация (на русском)

Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 3. Определяющее уравнение

Настоящая работа является продолжением исследования нестационарного запаздывания установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Физической основной задачи является возбуждение мощных гиперзвуковых колебаний в ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами, а также возбуждение интенсивных шумовых колебаний в ферритовом диске, помещенном в электродинамический резонатор. В основании настоящего исследования лежит полученная в первой части работы упрощенная система двух связанных дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих колебательный характер. В качестве главного шага упрощения задачи выполнено замещение колебаний второго осциллятора вспомогательной функцией, имеющей гармоническую зависимость от времени. При этом динамический потенциал приобрел характер симметричных периодических «прыжков» в прямом и обратном направлениях, в связи с чем введенная функция было названа «прыжковой». Результатом введения прыжковой функции явилась замена двух уравнений исходной системы одним «определяющим» уравнением, обеспечивающим свойства высокоамплитудного хаоса и нестационарного запаздывания, На основе определяющего уравнения рассмотрено развитие колебаний во времени, найдена их производная и построен соответствующий параметрический портрет. Показано, что развитие колебаний испытывает значительное запаздывание, в несколько раз превышающее период прыжковой функции. После запаздывания скачком развиваются нестационарные колебания, амплитуда которых превышает начальное смещение осциллятора более чем на три порядка. Параметрический портрет имеет вид сильно замазанной горизонтальной восьмерки, типичный для хаотического характера колебаний. Исследован спектральный состав высокоамплитудного хаоса. Показано, что в полном спектре преобладает линия, соответствующая частоте прыжковой функции, а при вычете этой функции остается чистый хаос, ширина спектра которого превышает частоту прыжковой функции на два порядка. Рассмотрено влияние начального смещения на время запаздывания. Показано, что время запаздывания зависит от величины начального смещения в соответствии с законом обратной пропорциональности. Рассмотрено влияние амплитуды прыжковой функции на время запаздывания. Выявлено критическое значение амплитуды, ниже которого высокоамплитудный хаос отсутствует. Показано, что по мере увеличения амплитуды прыжковой функции время запаздывания, в основном, спадает, однако на общей плавной зависимости имеется ряд острых максимумов, соответствующих резкому росту времени запаздывания на порядок и более. В качестве возможного объяснения характера полученной зависимости выдвинута гипотеза о ее резонансном характере. Рассмотрено влияние частоты прыжковой функции на время запаздывания. Показано, что по мере увеличения частоты время запаздывания увеличивается вплоть до критического ее значения, выше которого возбуждение высокоамплитудного хаоса отсутствует. Отмечена аналогия наблюдаемого явления с возбуждением электрического колебательного контура синусоидальной силой, при котором на низкой частоте ток в контуре колеблется в одной фазе с возбуждающей силой, а после прохождения резонансной частоты колебания становятся противофазными. На полученной зависимости выявлен ряд узких максимумов, подтверждающий гипотезу о резонансном их происхождении. Отмечено, что определяющее уравнение содержит инерционный и потенциальный члены, для характеристики которых введены параметры инерционности и потенциальности как коэффициенты при второй производной и слагаемом кубической нелинейности. Рассмотрено влияние параметра инерционности на время запаздывания. Выявлено критическое значение параметра, ниже которого высокоамплитудный хаос отсутствует. Рассмотрено влияние параметра потенциальности на время запаздывания. Выявлено возбуждение высокоамплитудного хаоса во всем возможном интервале изменения параметра без какого-либо критического значения. Рассмотрено влияние на время запаздывания сдвига фазы прыжковой функции относительно начала возбуждения. Выявлена весьма сильная зависимость, различным образом проявляющаяся при малых и больших временах запаздывания. Малая величина времени запаздывания здесь характеризуется отсутствием резких выбросов на зависимости времени запаздывания от начального смещения. Показано, что в этом случае зависимость времени запаздывания от величины сдвига фазы имеет резко выраженный широкий максимум, когда зависимость прыжковой функций от этого сдвига становится отрицательной, так что в этом случае высокоамплитудный хаос отсутствует. Отмечено, что при больших временах запаздывания, то есть в области резких выбросов на зависимости времени запаздывания от начального смещения, влияние сдвига фазы прыжковой функции резко возрастает. Приведены некоторые замечания, касающиеся возможного развития работы. В качестве главных задач отмечено построение модельного представления о продолжительности времени запаздывания, более подробное выявление природы критического характера ряда параметров, а также более подробное изучение фазового характера рассматриваемых явлений.

For citation

References

1. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. Москва, Наука. 1978.
2. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. Москва, Физматлит. 2003.
3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. Москва, Наука. 1981.
4. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. Москва, Наука. 1988.
5. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. Москва, Наука-Физматлит. 2000.
6. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). Москва, Физматлит. 2001.
7. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. Москва, Физматлит, 2002.
8. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. Москва, Техносфера. 2012.
9. Сул Г. Теория ферромагнитного резонанса при больших уровнях высокочастотной мощности. В сб. статей: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Пер. с англ. под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.163.
10. Моносов Я.А. Нелинейный ферромагнитный резонанс. Москва, Наука. 1971.
11. Львов В.С. Нелинейные спиновые волны. Москва, Наука. 1987.
12. Захаров В.Е., Львов В.С., Старобинец С.С. Турбулентность спиновых волн за порогом их параметрического возбуждения. УФН. 1974. Т.114. №4. С.609.
13. Kirilyuk A., Kimel A.V., Rasing T. Ultrafast optical manipulation of magnetic order. Rev. Mod. Phys. 2010. Vol.82. No.3. P.2731.
14. Dreher L., Weiler M., Pernpeintner M., Huebl H., Gross R., Brandt M.S., Goennenwein S.T.B. Surface acoustic wave driven ferromagnetic resonance in nickel thin films: theory and experiment. Phys. Rev. B. 2012. Vol.86. No.13. P.134415(13).
15. Bigot J.V., Vomir M. Ultrafast magnetization dynamics of nanostructures. Ann. Phys. (Berlin). 2013. Vol.525. No.1-2. P.2.
16. Jäger J.V., Scherbakov A.V., Linnik T.I., Yakovlev D.R., Wang M., Wadley P., Holy V., Cavill S.A., Akimov A.V., Rushforth A.W., Bayer M. Picosecond inverse magnetostriction in garfenol thin films. Appl. Phys. Lett. 2013. Vol.103. No.3. P.032409(5).
17. Thevenard L., Gourdon C., Prieur J.Y., Von Bardeleben H.J., Vincent S., Becerra L., Largeau L., Duquesne J.Y. Surface-acoustic-wave-driven ferromagnetic resonance in (Ga,Mn)(As,P) epilayers. Phys. Rev. B. 2014. Vol.90. No.9. P.094401(8).
18. Walowski J., Münzenberg M. Perspective: Ultrafast magnetism and THz spintronics. J. Appl. Phys. 2016. Vol.120. No.14. P.140901(16).
19. Janusonis J., Chang C.L., Jansma T., Gatilova A., Vlasov V.S., Lomonosov A.M., Temnov V.V., Tobey R.I. Ultrafast magnetoelastic probing of surface acoustic transients. Phys. Rev. B. 2016. Vol.94. No.2. P.024415(7).
20. Чернов А.И., Кожаев М.А., Ветошко П.М., Додонов Д.В., Прокопов А.Р., Шумилов А.Г., Шапошников А.Н., Бержанский В.Н., Звездин А.К., Белотелов В.И. Локальное зондирование магнитных пленок с помощью оптического возбуждения магнитостатических волн. ФТТ. 2016. Т.58. №6. С.1093.
21. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Ориентационные характеристики возбуждения магнитоупругих волн фемтосекундным импульсом света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun17/5/text.pdf.
22. Власов В.С., Макаров П.А., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Колебания намагниченности в магнитоупругой среде при ударном воздействии упругого смещения. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2018. №4. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/apr18/3/text.pdf.
23. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Излучение электромагнитной волны из магнитной пленки при воздействии фемтосекундного импульса света. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun20/14/text.pdf.
24. Ле-Кроу Р., Комсток Р. Магнитоупругие взаимодействия в ферромагнитных диэлектриках. В кн.: Мэзон У. (ред.): Физическая акустика. Т.3Б. Динамика решетки. Москва, Мир. 1968. С.156.
25. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2009. Т.54. №7. С.863.
26. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №2. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/feb13/10/text.pdf.
27. Власов В.С., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нелинейное возбуждение гиперзвука в двухслойной ферритовой структуре при ферромагнитном резонансе. РЭ. 2014. Т.59. №5. С.482.
28. Вейсс М. Сверхвысокочастотные и низкочастотные колебания, вызванные нестабильностью резонанса в ферритах. В кн.: Ферриты в нелинейных сверхвысокочастотных устройствах. Сборник статей под ред. Гуревича А.Г. Москва, ИЛ. 1961. С.281.
29. Щеглов В.И., Шавров В.Г., Зубков В.И., Власов В.С., Котов Л.Н. Автомодуляционный режим нелинейных вынужденных колебаний намагниченности феррита в резонаторе. Сборник трудов XII Международной конференции "Магнетизм, дальнее и ближнее спин-спиновое взаимодействие". Москва-Фирсановка, Издание МЭИ. 2009. С.100.
30. Власов В.С., Иванов А.П., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в системе двух связанных осцилляторов, один из которых является гиромагнитным. Сборник трудов XX Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва: НИУ МЭИ. 2012. С.248.
31. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ линейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2013. №11. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.pdf.
32. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Автоколебания в нормально намагниченной ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Сборник трудов XXI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, НИУ МЭИ. 2013. С.188.
33. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа работы магнитострикционного преобразователя. Сборник трудов XXI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, "НИУ МЭИ". 2013. С.199.
34. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ нелинейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов в квадратичном приближении. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал].2014. №1. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jan14/11/text.pdf.
35. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ колебаний в ферритовой пластине с магнитоупругими свойствами на основе модели квадратичного приближения. Материалы XXIII Всероссийской конференции "Электромагнитное поле и материалы". Москва, ИНФРА-М. 2015. С.202.
36. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 1. Основные уравнения. РЭ. 2015. Т.60. №1. С.79.
37. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Применение модели связанных осцилляторов для анализа нелинейного возбуждения гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе. Часть 2. Некоторые нелинейные явления. РЭ. 2015. Т.60. №3. С.297.
38. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных колебаний в магнитоупругой среде на основе модели связанных магнитного и упругого осцилляторов. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №5. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.pdf.
39. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Анализ автомодуляционных явлений в системе связанных магнитного и упругого осцилляторов на основе модели потенциала. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2015. №6. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jun15/9/text.pdf.
40. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Вынужденные колебания в системе из двух связанных осцилляторов в условиях кубической нелинейности и квадратичной связи. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2020. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug20/7/text.pdf.
41. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 1. Динамический потенциал. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №7. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/jul17/6/text.pdf.
42. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 2. Линейная связь. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/5/text.pdf.
43. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Часть 3. Нелинейная связь. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал] 2017. №8. Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/aug17/6/text.pdf.
44. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Динамический потенциал как модель нестационарного запаздывания возбуждения магнитоупругих колебаний в режиме умножения частоты. Сборник трудов XXVI Международной конференции "Электромагнитное поле и материалы (фундаментальные физические исследования". Москва, ИНФРА-М. 2018. С.243-253.
45. 45.Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 1. Общие положения. Формирование упрощенной системы. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.4
46. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. Нестационарное запаздывание установления нелинейных колебаний в системе двух связанных осцилляторов. Часть 2. Воздействие осцилляторов друг на друга. Журнал радиоэлектроники [электронный журнал]. 2021. №4. https://doi.org/10.30898/1684-1719.2021.4.5